设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在 (0,4) 内的概率分布密度 fY(y)=______.

步骤 1：确定 X 的概率密度函数
由于随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2} & \text{if } 0 < x < 2 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} \]

步骤 2：求 Y 的分布函数
随机变量 Y = X^2 的分布函数为：
\[ F_Y(y) = P(Y < y) = P(X^2 < y) \]
根据 X 的取值范围，我们分情况讨论：
① 当 y ≤ 0 时，Y 的分布函数为：
\[ F_Y(y) = P(\emptyset) = 0 \]
② 当 0 < y < 4 时，Y 的分布函数为：
\[ F_Y(y) = P(X^2 < y) = P(-\sqrt{y} < X < \sqrt{y}) \]
由于 X 的取值范围是 (0,2)，所以：
\[ F_Y(y) = P(0 < X < \sqrt{y}) = \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = \frac{\sqrt{y}}{2} \]
③ 当 y ≥ 4 时，Y 的分布函数为：
\[ F_Y(y) = 1 \]

步骤 3：求 Y 的概率密度函数
Y 的概率密度函数为 Y 的分布函数的导数：
\[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \frac{\sqrt{y}}{2} \right) = \frac{1}{4\sqrt{y}} \]