题目
(13)已知函数 (x)=(e)^sin x+(e)^-sin x 则 ^m(2pi )= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={e}^{\sin x}+{e}^{-\sin x}$ 的导数。根据链式法则，我们有：
$$
f'(x) = \cos x \cdot {e}^{\sin x} - \cos x \cdot {e}^{-\sin x}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们求出二阶导数 $f''(x)$。对 $f'(x)$ 再次应用链式法则，我们得到：
$$
f''(x) = -\sin x \cdot {e}^{\sin x} - \sin x \cdot {e}^{-\sin x} + \cos^2 x \cdot {e}^{\sin x} + \cos^2 x \cdot {e}^{-\sin x}
$$
步骤 3：求高阶导数
由于题目要求的是 $f^{(m)}(2\pi)$，我们需要求出函数的高阶导数。注意到 $f(x)$ 是一个周期函数，周期为 $2\pi$，因此 $f^{(m)}(2\pi)$ 可以通过求出 $f^{(m)}(0)$ 来得到。由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。
步骤 4：计算 $f^{(m)}(0)$
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。注意到 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。
步骤 5：计算 $f^{(m)}(2\pi)$
由于 $f(x)$ 是一个周期函数，周期为 $2\pi$，因此 $f^{(m)}(2\pi) = f^{(m)}(0)$。根据步骤 4 的计算结果，我们得到 $f^{(m)}(2\pi) = 0$。
首先，我们需要求出函数 $f(x)={e}^{\sin x}+{e}^{-\sin x}$ 的导数。根据链式法则，我们有：
$$
f'(x) = \cos x \cdot {e}^{\sin x} - \cos x \cdot {e}^{-\sin x}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们求出二阶导数 $f''(x)$。对 $f'(x)$ 再次应用链式法则，我们得到：
$$
f''(x) = -\sin x \cdot {e}^{\sin x} - \sin x \cdot {e}^{-\sin x} + \cos^2 x \cdot {e}^{\sin x} + \cos^2 x \cdot {e}^{-\sin x}
$$
步骤 3：求高阶导数
由于题目要求的是 $f^{(m)}(2\pi)$，我们需要求出函数的高阶导数。注意到 $f(x)$ 是一个周期函数，周期为 $2\pi$，因此 $f^{(m)}(2\pi)$ 可以通过求出 $f^{(m)}(0)$ 来得到。由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。
步骤 4：计算 $f^{(m)}(0)$
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。注意到 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是周期性的，我们可以直接计算 $f^{(m)}(0)$。
步骤 5：计算 $f^{(m)}(2\pi)$
由于 $f(x)$ 是一个周期函数，周期为 $2\pi$，因此 $f^{(m)}(2\pi) = f^{(m)}(0)$。根据步骤 4 的计算结果，我们得到 $f^{(m)}(2\pi) = 0$。