题目
已知向量组 alpha_1 = (t, 2, 1)^T, alpha_2 = (2, t, 0)^T, alpha_3 = (1, -1, 1)^T 线性相关，则t的值为(）。A. 3B. 2C. 1D. 0
已知向量组 $\alpha_1 = (t, 2, 1)^T$, $\alpha_2 = (2, t, 0)^T$, $\alpha_3 = (1, -1, 1)^T$ 线性相关，则t的值为(）。
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
题目解答
答案
A. 3
解析
步骤 1：构造矩阵
由向量组 $\alpha_1 = (t, 2, 1)^T$, $\alpha_2 = (2, t, 0)^T$, $\alpha_3 = (1, -1, 1)^T$ 构成的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} t & 2 & 1 \\ 2 & t & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式： \[ \det(A) = t \begin{vmatrix} t & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & t \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = t^2 - 6 - t = t^2 - t - 6 \]
步骤 3：求解方程
令 $\det(A) = 0$，解得： \[ t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 \implies t = 3 \text{ 或 } t = -2 \]
由向量组 $\alpha_1 = (t, 2, 1)^T$, $\alpha_2 = (2, t, 0)^T$, $\alpha_3 = (1, -1, 1)^T$ 构成的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} t & 2 & 1 \\ 2 & t & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式： \[ \det(A) = t \begin{vmatrix} t & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & t \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = t^2 - 6 - t = t^2 - t - 6 \]
步骤 3：求解方程
令 $\det(A) = 0$，解得： \[ t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 \implies t = 3 \text{ 或 } t = -2 \]