题目
3.设f(x)以2 π为周期,它在 [ -pi ,pi ) 上的表达式为 f(x)= ) -1 -x& 0lt xlt pi .-|||-展开成傅立叶级数时,和函数为S(x ),则系数a2和S (0)的表达式分别为 ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算傅立叶系数a2
根据傅立叶级数的定义，傅立叶系数a2的计算公式为：
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]
对于n=2，我们有：
\[ a_2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(2x) dx \]
由于f(x)在[-π, 0]和(0, π)上定义不同，我们需要分段计算：
\[ a_2 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \cos(2x) dx + \int_{0}^{\pi} (\pi x) \cos(2x) dx \right) \]
步骤 2：计算S(0)
傅立叶级数在x=0处的和函数S(0)等于f(x)在x=0处的左极限和右极限的平均值。由于f(x)在x=0处不连续，我们有：
\[ S(0) = \frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0^-} f(x) + \lim_{x \to 0^+} f(x) \right) \]
根据f(x)的定义，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \]
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \]
因此：
\[ S(0) = \frac{1}{2} \left( -1 + 0 \right) = -\frac{1}{2} \]
根据傅立叶级数的定义，傅立叶系数a2的计算公式为：
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]
对于n=2，我们有：
\[ a_2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(2x) dx \]
由于f(x)在[-π, 0]和(0, π)上定义不同，我们需要分段计算：
\[ a_2 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \cos(2x) dx + \int_{0}^{\pi} (\pi x) \cos(2x) dx \right) \]
步骤 2：计算S(0)
傅立叶级数在x=0处的和函数S(0)等于f(x)在x=0处的左极限和右极限的平均值。由于f(x)在x=0处不连续，我们有：
\[ S(0) = \frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0^-} f(x) + \lim_{x \to 0^+} f(x) \right) \]
根据f(x)的定义，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \]
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \]
因此：
\[ S(0) = \frac{1}{2} \left( -1 + 0 \right) = -\frac{1}{2} \]