题目
(2)已知 =ln x, 则 y^(n)= ()-|||-(A) ((-1))^nn!(x)^n (B) ((-1))^n(n-1)!(x)^-2n-|||-(C) ((-1))^n-1(n-1)!(x)^-n (D) ((-1))^n-1n!(x)^-n-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一阶导数
$y=\ln x$ 的一阶导数为 $y'=\dfrac{1}{x}={x}^{-1}={(-1)}^{0}0!{x}^{-1}$。
步骤 2：求二阶导数
$y'={x}^{-1}$ 的二阶导数为 $y''=-1\cdot {x}^{-2}={(-1)}^{2-1}1!{x}^{-2}$。
步骤 3：求三阶导数
$y''=-1\cdot {x}^{-2}$ 的三阶导数为 $y'''=-1\cdot -2\cdot {x}^{-3}={(-1)}^{3-1}2!{x}^{-3}$。
步骤 4：归纳求n阶导数
根据上述规律，可以归纳出 $y=\ln x$ 的n阶导数为 ${y}^{(n)}={(-1)}^{n-1}(n-1)!{x}^{-n}$。
$y=\ln x$ 的一阶导数为 $y'=\dfrac{1}{x}={x}^{-1}={(-1)}^{0}0!{x}^{-1}$。
步骤 2：求二阶导数
$y'={x}^{-1}$ 的二阶导数为 $y''=-1\cdot {x}^{-2}={(-1)}^{2-1}1!{x}^{-2}$。
步骤 3：求三阶导数
$y''=-1\cdot {x}^{-2}$ 的三阶导数为 $y'''=-1\cdot -2\cdot {x}^{-3}={(-1)}^{3-1}2!{x}^{-3}$。
步骤 4：归纳求n阶导数
根据上述规律，可以归纳出 $y=\ln x$ 的n阶导数为 ${y}^{(n)}={(-1)}^{n-1}(n-1)!{x}^{-n}$。