12.下列函数在定义域内是否有界?为什么?-|||-(1) =dfrac (xsin x)({x)^2+1};-|||-(2) =sin xsin dfrac (1)(x);-|||-(3) =sin dfrac (1)(x)+arcsin x;-|||-(4) =ln |sin x|.

步骤 1：分析函数 $y=\dfrac {x\sin x}{{x}^{2}+1}$
函数 $y=\dfrac {x\sin x}{{x}^{2}+1}$ 的定义域为全体实数。由于 $|\sin x|\leq 1$，则 $|x\sin x|\leq |x|$，因此 $|\dfrac {x\sin x}{{x}^{2}+1}|\leq \dfrac {|x|}{{x}^{2}+1}$。由于 $\dfrac {|x|}{{x}^{2}+1}$ 在 $x\rightarrow \infty$ 时趋于0，因此函数是有界的。

步骤 2：分析函数 $y=\sin x\sin \dfrac {1}{x}$
函数 $y=\sin x\sin \dfrac {1}{x}$ 的定义域为 $x\neq 0$。由于 $|\sin x|\leq 1$ 和 $|\sin \dfrac {1}{x}|\leq 1$，则 $|\sin x\sin \dfrac {1}{x}|\leq 1$。因此函数是有界的。

步骤 3：分析函数 $y=\sin \dfrac {1}{x}+\arcsin x$
函数 $y=\sin \dfrac {1}{x}+\arcsin x$ 的定义域为 $-1\leq x\leq 1$ 且 $x\neq 0$。由于 $|\sin \dfrac {1}{x}|\leq 1$ 和 $|\arcsin x|\leq \dfrac {\pi}{2}$，则 $|\sin \dfrac {1}{x}+\arcsin x|\leq 1+\dfrac {\pi}{2}$。因此函数是有界的。

步骤 4：分析函数 $y=\ln |\sin x|$
函数 $y=\ln |\sin x|$ 的定义域为 $x\neq k\pi$，其中 $k$ 为整数。由于 $|\sin x|$ 在 $x\rightarrow k\pi$ 时趋于0，因此 $\ln |\sin x|$ 在 $x\rightarrow k\pi$ 时趋于负无穷大。因此函数是无界的。