4.求 =(x)^3arctan x 的导数 dfrac (dy)(dx)-

考查要点：本题主要考查乘积法则的应用，以及反三角函数导数的计算。

解题核心思路：
函数由两个基本函数相乘构成：$x^3$ 和 $\arctan x$。因此，必须使用乘积法则（即导数的四则运算法则中的乘法规则）进行求导。
关键步骤包括：

1. 分别对 $x^3$ 和 $\arctan x$ 求导；
2. 将导数代入乘积法则公式；
3. 合并整理结果。

易错点提示：

• 分母的正确形式：$\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，而非 $\frac{1}{x+2}$；
• 符号与项的完整性：注意乘积法则中两项的符号均为正，且不能遗漏任何项。

步骤1：确定函数形式
设 $f(x) = x^3$，$g(x) = \arctan x$，则原函数为 $y = f(x) \cdot g(x)$。

步骤2：分别求导

• $f'(x) = 3x^2$（幂函数求导）；
• $g'(x) = \frac{1}{1+x^2}$（反三角函数求导）。

步骤3：应用乘积法则
根据乘积法则：
$\frac{dy}{dx} = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
代入已知导数：
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cdot \arctan x + x^3 \cdot \frac{1}{1+x^2}$

步骤4：整理结果
最终结果无需进一步化简，保持分式形式即可：
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \arctan x + \frac{x^3}{1+x^2}$