[题目]求 (s)=(s+4)/(2(s)^2+3s+1) 的拉普拉斯-|||-反变换-|||-(s)=dfrac (s+4)(2{s)^2+3s+1}

考查要点：本题主要考查拉普拉斯反变换的计算，特别是通过部分分式展开法将有理分式分解为简单分式，再利用标准拉普拉斯变换对求解原函数。

解题核心思路：

1. 因式分解分母：将分母二次多项式分解为一次因式的乘积，便于后续分解为部分分式。
2. 部分分式展开：将原分式表示为简单分式的线性组合，通常形式为$\frac{A}{s+a} + \frac{B}{s+b}$。
3. 求解待定系数：通过代数方法（如代入特定值或比较系数）确定部分分式的系数。
4. 反变换求解：利用标准拉普拉斯变换对$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at}$，逐项求反变换并组合结果。

破题关键点：

• 正确分解分母：确保二次多项式因式分解无误。
• 待定系数求解：准确计算部分分式的系数，避免符号或计算错误。
• 反变换公式应用：注意分母系数对结果的影响，如$\frac{B}{2s+1}$需转化为$\frac{B}{2(s+\frac{1}{2})}$后再求反变换。

步骤1：因式分解分母
原函数为：
$F(s) = \frac{s+4}{2s^2 + 3s + 1}$
分母分解为：
$2s^2 + 3s + 1 = (2s + 1)(s + 1)$

步骤2：部分分式展开
设：
$\frac{s+4}{(2s+1)(s+1)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{2s+1}$
两边同乘分母得：
$s + 4 = A(2s + 1) + B(s + 1)$

步骤3：求解待定系数

• 代入特定值：
  令$s = -1$，得：
  $-1 + 4 = A(2(-1) + 1) \implies 3 = -A \implies A = -3$
  令$s = -\frac{1}{2}$，得：
  $-\frac{1}{2} + 4 = B\left(2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\right) \implies \frac{7}{2} = B(0) \quad \text{（此方法不适用，改用系数比较）}$

• 比较系数：
  展开右边：
  $s + 4 = (2A + B)s + (A + B)$
  比较系数得方程组：
  $\begin{cases} 2A + B = 1 \\ A + B = 4 \end{cases}$
  解得：
  $A = -3, \quad B = 7$

步骤4：反变换求解
部分分式为：
$F(s) = \frac{-3}{s+1} + \frac{7}{2s+1}$
逐项求反变换：

1. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-3}{s+1}\right\} = -3e^{-t}$
2. $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{7}{2s+1}\right\} = \frac{7}{2}e^{-\frac{1}{2}t}$

最终结果：
$f(t) = -3e^{-t} + \frac{7}{2}e^{-\frac{1}{2}t}$