设随机变量 X 的概率密度为 f_X(x) = } kx^2, & 0 leq x leq 1 0, & (其他) ，求(1) k 的值；(2) P(1)/(2) leq X leq (3)/(2)；(3) 若 Y = X^2，求 D(Y)。

我们来逐步解决这个概率论题目。题目给出了随机变量 $ X $ 的概率密度函数（PDF）：

$f_X(x) = \begin{cases} kx^2, & 0 \leq x \leq 1 \\0, & \text{其他}\end{cases}$

要求解以下三个问题：

(1) 求常数 $ k $ 的值

解题思路：
概率密度函数在整个实数轴上的积分为 1，即：

$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$

由于 $ f_X(x) $ 只在 $ [0,1] $ 上非零，因此：

$\int_0^1 kx^2 \, dx = 1$

计算积分：

$k \int_0^1 x^2 \, dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = k \cdot \frac{1}{3}$

令其等于 1：

$\frac{k}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 3$

✅ 答案 (1)： $ \boxed{k = 3} $

(2) 求 $ P\left\{\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right\} $

解题思路：
我们使用概率密度函数积分求概率：

$P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right) = \int_{1/2}^{3/2} f_X(x) \, dx$

但注意：$ f_X(x) = 3x^2 $ 仅在 $ [0,1] $ 上有定义，其余为 0。

而区间 $ [1/2, 3/2] $ 中：

• $ [1/2, 1] $：$ f_X(x) = 3x^2 $
• $ (1, 3/2] $：$ f_X(x) = 0 $

所以积分只需在 $ [1/2, 1] $ 上进行：

$P = \int_{1/2}^1 3x^2 \, dx = 3 \int_{1/2}^1 x^2 \, dx$

计算积分：

$\int_{1/2}^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1/2}^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{(1/2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1/8}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{24} = \frac{8 - 1}{24} = \frac{7}{24}$

乘以 3：

$P = 3 \cdot \frac{7}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

✅ 答案 (2)： $ \boxed{P\left\{\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right\} = \frac{7}{8}} $

(3) 若 $ Y = X^2 $，求 $ D(Y) $

解题思路：
方差公式为：

$D(Y) = \text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2$

而 $ Y = X^2 $，所以：

• $ E[Y] = E[X^2] $
• $ E[Y^2] = E[(X^2)^2] = E[X^4] $

所以我们需要计算 $ E[X^2] $ 和 $ E[X^4] $，使用概率密度函数 $ f_X(x) = 3x^2 $，定义在 $ [0,1] $。

第一步：计算 $ E[Y] = E[X^2] $

$E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot f_X(x) \, dx = \int_0^1 x^2 \cdot 3x^2 \, dx = 3 \int_0^1 x^4 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

第二步：计算 $ E[Y^2] = E[X^4] $

$E[X^4] = \int_0^1 x^4 \cdot f_X(x) \, dx = \int_0^1 x^4 \cdot 3x^2 \, dx = 3 \int_0^1 x^6 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$

第三步：计算方差 $ D(Y) $

$D(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = E[X^4] - (E[X^2])^2 = \frac{3}{7} - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{3}{7} - \frac{9}{25}$

通分计算：

$\frac{3}{7} = \frac{75}{175},\quad \frac{9}{25} = \frac{63}{175} \quad \Rightarrow \quad \frac{75 - 63}{175} = \frac{12}{175}$

✅ 答案 (3)： $ \boxed{D(Y) = \frac{12}{175}} $

✅ 最终答案总结：

1. $ k = \boxed{3} $
2. $ P\left\{\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right\} = \boxed{\dfrac{7}{8}} $
3. $ D(Y) = \boxed{\dfrac{12}{175}} $