一、用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) z=10(x)_(1)+5(x)_(2)-|||-s.t. ) 3(x)_(1)+4(x)_(2)leqslant 9 5(x)_(1)+2(x)_(2)leqslant 8 (x)_(1),(x)_(2)geqslant 0 .

步骤 1：引入松弛变量
为了将不等式约束转换为等式约束，我们引入松弛变量${x}_{3}$和${x}_{4}$，将原问题转化为标准形式。
$$
\begin{align*}
\max\quad z &= 10{x}_{1} + 5{x}_{2} \\
\text{s.t.}\quad 3{x}_{1} + 4{x}_{2} + {x}_{3} &= 9 \\
5{x}_{1} + 2{x}_{2} + {x}_{4} &= 8 \\
{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}, {x}_{4} &\geqslant 0
\end{align*}
$$
步骤 2：建立初始单纯形表
根据上述标准形式，建立初始单纯形表。
$$
\begin{array}{c|cccc|c}
& {x}_{1} & {x}_{2} & {x}_{3} & {x}_{4} & \text{RHS} \\
\hline
{x}_{3} & 3 & 4 & 1 & 0 & 9 \\
{x}_{4} & 5 & 2 & 0 & 1 & 8 \\
\hline
z & -10 & -5 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$
步骤 3：选择入基变量和出基变量
选择入基变量：选择$z$行中负数最大的列对应的变量，即${x}_{1}$。
选择出基变量：计算最小比值$\frac{\text{RHS}}{\text{入基变量系数}}$，选择最小比值对应的行对应的变量，即${x}_{4}$。
步骤 4：进行单纯形迭代
进行单纯形迭代，将${x}_{1}$变为基变量，${x}_{4}$变为非基变量。
$$
\begin{array}{c|cccc|c}
& {x}_{1} & {x}_{2} & {x}_{3} & {x}_{4} & \text{RHS} \\
\hline
{x}_{3} & 0 & \frac{14}{5} & 1 & -\frac{3}{5} & \frac{9}{5} \\
{x}_{1} & 1 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} \\
\hline
z & 0 & -1 & 0 & 2 & 16
\end{array}
$$
步骤 5：重复步骤 3 和 4，直到$z$行中没有负数
选择入基变量：选择$z$行中负数最大的列对应的变量，即${x}_{2}$。
选择出基变量：计算最小比值$\frac{\text{RHS}}{\text{入基变量系数}}$，选择最小比值对应的行对应的变量，即${x}_{3}$。
进行单纯形迭代，将${x}_{2}$变为基变量，${x}_{3}$变为非基变量。
$$
\begin{array}{c|cccc|c}
& {x}_{1} & {x}_{2} & {x}_{3} & {x}_{4} & \text{RHS} \\
\hline
{x}_{2} & 0 & 1 & \frac{5}{14} & -\frac{3}{14} & \frac{9}{14} \\
{x}_{1} & 1 & 0 & -\frac{1}{7} & \frac{5}{7} & \frac{3}{2} \\
\hline
z & 0 & 0 & \frac{5}{7} & \frac{13}{7} & \frac{35}{2}
\end{array}
$$
步骤 6：得到最优解
最优解为${X}^{*}={(\dfrac {3}{2},1)}^{T}$，最优值为${z}^{*}=maxz=\dfrac {35}{2}$。