8.已知 overrightarrow (OA)=i+3k, overrightarrow (OB)=j+3k, 求 Delta ABO 的面积.

考查要点：本题主要考查三维向量叉乘的应用，以及利用向量叉乘求三角形面积的方法。

解题核心思路：三角形面积等于两个邻边向量叉乘的模长的一半。因此，关键步骤是计算向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的叉乘，再求其模长，最后取一半。

破题关键点：

1. 正确计算向量叉乘：注意三维向量叉乘的分量公式，避免符号错误。
2. 准确计算模长：叉乘结果的模长需平方后开根号，确保每一步运算无误。

步骤1：写出向量坐标

已知：
$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

步骤2：计算向量叉乘

根据叉乘公式：
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 3 - 3 \cdot 1) \\ -(1 \cdot 3 - 3 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

步骤3：求叉乘的模长

$\|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

步骤4：计算三角形面积

三角形面积为叉乘模长的一半：
$\text{面积} = \frac{1}{2} \sqrt{19}$