题目
下列条件中不是n阶方阵A可逆的充要条件的是( )A. |A|≠0B. R(A)=nC. A是正定矩阵D. A等价于n阶单位矩阵
下列条件中不是n阶方阵A可逆的充要条件的是( )
A. |A|≠0
B. R(A)=n
C. A是正定矩阵
D. A等价于n阶单位矩阵
A. |A|≠0
B. R(A)=n
C. A是正定矩阵
D. A等价于n阶单位矩阵
题目解答
答案
故A. B.
而
如
故
故选:
解析
步骤 1:理解方阵可逆的充要条件
方阵 A 可逆的充要条件是 A 的行列式不为零,即 |A| ≠ 0。这意味着 A 的秩为 n,即 R(A) = n,且 A 可以通过有限次初等变换化为单位矩阵 E,即 A 等价于 n 阶单位矩阵。
步骤 2:分析选项 A
选项 A 表示 |A| ≠ 0,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。
步骤 3:分析选项 B
选项 B 表示 R(A) = n,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。
步骤 4:分析选项 C
选项 C 表示 A 是正定矩阵。正定矩阵的定义是对于所有非零向量 x,有 x^T A x > 0。正定矩阵的行列式大于零,即 |A| > 0,因此正定矩阵可逆。但是,可逆矩阵不一定正定,因此选项 C 不是方阵 A 可逆的充要条件。
步骤 5:分析选项 D
选项 D 表示 A 等价于 n 阶单位矩阵。这意味着 A 可以通过有限次初等变换化为单位矩阵 E,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。
方阵 A 可逆的充要条件是 A 的行列式不为零,即 |A| ≠ 0。这意味着 A 的秩为 n,即 R(A) = n,且 A 可以通过有限次初等变换化为单位矩阵 E,即 A 等价于 n 阶单位矩阵。
步骤 2:分析选项 A
选项 A 表示 |A| ≠ 0,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。
步骤 3:分析选项 B
选项 B 表示 R(A) = n,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。
步骤 4:分析选项 C
选项 C 表示 A 是正定矩阵。正定矩阵的定义是对于所有非零向量 x,有 x^T A x > 0。正定矩阵的行列式大于零,即 |A| > 0,因此正定矩阵可逆。但是,可逆矩阵不一定正定,因此选项 C 不是方阵 A 可逆的充要条件。
步骤 5:分析选项 D
选项 D 表示 A 等价于 n 阶单位矩阵。这意味着 A 可以通过有限次初等变换化为单位矩阵 E,这是方阵 A 可逆的充要条件之一。