题目
20.设随机变量X的分布函数为-|||-_(x)(x)= ) 0, xlt 1, ln x, 1leqslant xlt e. 1, xgeqslant e. .-|||-(2)求概率密度fx(x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P\{ x\lt 2\}$
根据分布函数的定义，$P\{ x\lt 2\} = F_x(2^-)$，其中$F_x(2^-)$表示$F_x(x)$在$x=2$左侧的极限值。由于$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$F_x(2^-) = \ln 2$。
步骤 2：计算 $P\{ 0\lt x\leqslant 3\}$
$P\{ 0\lt x\leqslant 3\} = F_x(3) - F_x(0^+)$，其中$F_x(0^+)$表示$F_x(x)$在$x=0$右侧的极限值。由于$x\lt 1$时，$F_x(x) = 0$，因此$F_x(0^+) = 0$。而$F_x(3) = 1$，因为$x\geqslant e$时，$F_x(x) = 1$。
步骤 3：计算 $P\{ 2\lt x\lt 5/2\}$
$P\{ 2\lt x\lt 5/2\} = F_x(5/2^-) - F_x(2^+)$，其中$F_x(5/2^-)$表示$F_x(x)$在$x=5/2$左侧的极限值，$F_x(2^+)$表示$F_x(x)$在$x=2$右侧的极限值。由于$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$F_x(5/2^-) = \ln (5/2)$，$F_x(2^+) = \ln 2$。
步骤 4：求概率密度$f_x(x)$
概率密度函数$f_x(x)$是分布函数$F_x(x)$的导数。因此，$f_x(x) = \frac{d}{dx}F_x(x)$。在$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$f_x(x) = \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$。在其他区间，$f_x(x) = 0$。
根据分布函数的定义，$P\{ x\lt 2\} = F_x(2^-)$，其中$F_x(2^-)$表示$F_x(x)$在$x=2$左侧的极限值。由于$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$F_x(2^-) = \ln 2$。
步骤 2：计算 $P\{ 0\lt x\leqslant 3\}$
$P\{ 0\lt x\leqslant 3\} = F_x(3) - F_x(0^+)$，其中$F_x(0^+)$表示$F_x(x)$在$x=0$右侧的极限值。由于$x\lt 1$时，$F_x(x) = 0$，因此$F_x(0^+) = 0$。而$F_x(3) = 1$，因为$x\geqslant e$时，$F_x(x) = 1$。
步骤 3：计算 $P\{ 2\lt x\lt 5/2\}$
$P\{ 2\lt x\lt 5/2\} = F_x(5/2^-) - F_x(2^+)$，其中$F_x(5/2^-)$表示$F_x(x)$在$x=5/2$左侧的极限值，$F_x(2^+)$表示$F_x(x)$在$x=2$右侧的极限值。由于$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$F_x(5/2^-) = \ln (5/2)$，$F_x(2^+) = \ln 2$。
步骤 4：求概率密度$f_x(x)$
概率密度函数$f_x(x)$是分布函数$F_x(x)$的导数。因此，$f_x(x) = \frac{d}{dx}F_x(x)$。在$1\leqslant x\lt e$时，$F_x(x) = \ln x$，因此$f_x(x) = \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$。在其他区间，$f_x(x) = 0$。