题目
下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)=dfrac ({x)^2-1}({x)^2-3x+2}, x=1, x=2;
下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)
, x=1, x=2;
题目解答
答案
解 (1)
. 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.
因为
, 所以x=2是函数的第二类间断点;
因为
, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=-2, 则函数在x=1处成为连续的.
解析
步骤 1：化简函数
函数 $y=\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}$ 可以化简为 $y=\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。化简后，可以看到函数在 $x=1$ 和 $x=2$ 处无定义，因为分母为零。
步骤 2：分析 $x=2$ 处的间断点
计算 $\lim _{x\rightarrow 2}y=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。由于分母在 $x=2$ 处为零，而分子不为零，所以极限为无穷大，即 $\lim _{x\rightarrow 2}y=\infty$。因此，$x=2$ 是函数的第二类间断点。
步骤 3：分析 $x=1$ 处的间断点
计算 $\lim _{x\rightarrow 1}y=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x+1)}{(x-2)}$。由于分子和分母在 $x=1$ 处都不为零，所以极限存在且为有限值，即 $\lim _{x\rightarrow 1}y=-2$。因此，$x=1$ 是函数的第一类间断点，且是可去间断点。在 $x=1$ 处，令 $y=-2$，则函数在 $x=1$ 处成为连续的。
函数 $y=\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}$ 可以化简为 $y=\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。化简后，可以看到函数在 $x=1$ 和 $x=2$ 处无定义，因为分母为零。
步骤 2：分析 $x=2$ 处的间断点
计算 $\lim _{x\rightarrow 2}y=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。由于分母在 $x=2$ 处为零，而分子不为零，所以极限为无穷大，即 $\lim _{x\rightarrow 2}y=\infty$。因此，$x=2$ 是函数的第二类间断点。
步骤 3：分析 $x=1$ 处的间断点
计算 $\lim _{x\rightarrow 1}y=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x+1)}{(x-2)}$。由于分子和分母在 $x=1$ 处都不为零，所以极限存在且为有限值，即 $\lim _{x\rightarrow 1}y=-2$。因此，$x=1$ 是函数的第一类间断点，且是可去间断点。在 $x=1$ 处，令 $y=-2$，则函数在 $x=1$ 处成为连续的。