题目
2 求极限lim_(ntoinfty)(n!)/((a+1)(a+2)...(a+n))，其中a>0.
2 求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}$，其中a>0.
题目解答
答案
设 $x_n = \frac{n!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}$，则
\[
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{n+1}{a+n+1} \to 1 \quad (n \to \infty).
\]
由 Raabe 判别法，
\[
n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) = \frac{an}{n+1} \to a > 0,
\]
表明级数 $\sum x_n$ 收敛，故 $x_n \to 0$。
或者，利用斯特林公式近似，
\[
x_n \approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n a!}{\sqrt{2\pi (a+n)} \left(\frac{a+n}{e}\right)^{a+n}} \to 0 \quad (n \to \infty).
\]
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：定义序列
设 $x_n = \frac{n!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}$，其中 $a > 0$。
步骤 2：计算相邻项比值的极限
计算相邻项比值的极限，即 \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n+1)} \cdot \frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}{n!} = \frac{n+1}{a+n+1}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} \to 1. \]
步骤 3：应用Raabe判别法
根据Raabe判别法，考虑 \[ n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) = n\left(\frac{a+n+1}{n+1} - 1\right) = \frac{an}{n+1}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) \to a > 0. \] 由于 $a > 0$，根据Raabe判别法，级数 $\sum x_n$ 收敛，从而 $x_n \to 0$。
步骤 4：利用斯特林公式近似
利用斯特林公式近似，有 \[ x_n \approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n a!}{\sqrt{2\pi (a+n)} \left(\frac{a+n}{e}\right)^{a+n}}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ x_n \to 0. \]
设 $x_n = \frac{n!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}$，其中 $a > 0$。
步骤 2：计算相邻项比值的极限
计算相邻项比值的极限，即 \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)!}{(a+1)(a+2)\cdots(a+n+1)} \cdot \frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}{n!} = \frac{n+1}{a+n+1}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} \to 1. \]
步骤 3：应用Raabe判别法
根据Raabe判别法，考虑 \[ n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) = n\left(\frac{a+n+1}{n+1} - 1\right) = \frac{an}{n+1}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) \to a > 0. \] 由于 $a > 0$，根据Raabe判别法，级数 $\sum x_n$ 收敛，从而 $x_n \to 0$。
步骤 4：利用斯特林公式近似
利用斯特林公式近似，有 \[ x_n \approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n a!}{\sqrt{2\pi (a+n)} \left(\frac{a+n}{e}\right)^{a+n}}. \] 当 $n \to \infty$ 时，有 \[ x_n \to 0. \]