题目
[题目]若 (-x)=f(x)(-infty lt xlt +infty ), 在 (-infty ,0) 内-|||-'(x)gt 0, 且 (x)lt 0, 则在 (0,+infty ) 内有 ()-|||-A. '(x)gt 0, '(x)lt 0-|||-B. '(x)gt 0, (x)gt 0-|||-C. '(x)lt 0, '(x)lt 0-|||-D. '(x)lt 0, (x)gt 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的奇偶性
由题意知 $f(-x)=f(x)$，说明函数 $f(x)$ 是偶函数。
步骤 2：分析导数的符号
由于 $f(x)$ 是偶函数，其一阶导数 $f'(x)$ 应该是奇函数，即 $f'(-x)=-f'(x)$。在 $(-\infty, 0)$ 内，$f'(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是单调递增的。
步骤 3：确定 $(0, +\infty)$ 内的导数符号
由于 $f'(x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时，$f'(x) = -f'(-x)$，而 $f'(-x) > 0$，所以 $f'(x) < 0$。因此，在 $(0, +\infty)$ 内，$f'(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是单调递减的。
步骤 4：分析二阶导数的符号
由于 $f(x)$ 是偶函数，其二阶导数 $f''(x)$ 也是偶函数，即 $f''(-x) = f''(x)$。在 $(-\infty, 0)$ 内，$f''(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是凹的。由于 $f''(x)$ 是偶函数，所以在 $(0, +\infty)$ 内，$f''(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内也是凹的。
由题意知 $f(-x)=f(x)$，说明函数 $f(x)$ 是偶函数。
步骤 2：分析导数的符号
由于 $f(x)$ 是偶函数，其一阶导数 $f'(x)$ 应该是奇函数，即 $f'(-x)=-f'(x)$。在 $(-\infty, 0)$ 内，$f'(x) > 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是单调递增的。
步骤 3：确定 $(0, +\infty)$ 内的导数符号
由于 $f'(x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时，$f'(x) = -f'(-x)$，而 $f'(-x) > 0$，所以 $f'(x) < 0$。因此，在 $(0, +\infty)$ 内，$f'(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是单调递减的。
步骤 4：分析二阶导数的符号
由于 $f(x)$ 是偶函数，其二阶导数 $f''(x)$ 也是偶函数，即 $f''(-x) = f''(x)$。在 $(-\infty, 0)$ 内，$f''(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内是凹的。由于 $f''(x)$ 是偶函数，所以在 $(0, +\infty)$ 内，$f''(x) < 0$，说明函数 $f(x)$ 在这个区间内也是凹的。