题目
1.设随机变量X的分布律为-|||- X=k =cdfrac ({lambda )^k}(k!) =1,2, ..... lambda gt 0,-|||-求常数c的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分布律的性质
由于 $P\{ X=k\} =c\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}$ 是随机变量X的分布律，根据概率分布律的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。即：
$$\sum_{k=1}^{\infty} P\{ X=k\} = 1$$
步骤 2：计算概率之和
将给定的分布律代入上述等式，得到：
$$\sum_{k=1}^{\infty} c\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!} = 1$$
步骤 3：利用指数函数的级数展开
注意到指数函数 $e^{\lambda}$ 的级数展开为：
$$e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}$$
因此，可以将上述等式改写为：
$$c\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {{\lambda }^{k}}{k!} = 1$$
$$c(e^{\lambda} - 1) = 1$$
步骤 4：求解常数c
从上式中解出c，得到：
$$c = \dfrac{1}{e^{\lambda} - 1}$$
由于 $P\{ X=k\} =c\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}$ 是随机变量X的分布律，根据概率分布律的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。即：
$$\sum_{k=1}^{\infty} P\{ X=k\} = 1$$
步骤 2：计算概率之和
将给定的分布律代入上述等式，得到：
$$\sum_{k=1}^{\infty} c\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!} = 1$$
步骤 3：利用指数函数的级数展开
注意到指数函数 $e^{\lambda}$ 的级数展开为：
$$e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}$$
因此，可以将上述等式改写为：
$$c\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {{\lambda }^{k}}{k!} = 1$$
$$c(e^{\lambda} - 1) = 1$$
步骤 4：求解常数c
从上式中解出c，得到：
$$c = \dfrac{1}{e^{\lambda} - 1}$$