【题目】设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为（）A. lim_(h→0)1/(h^2)f(1-cosh) 存在B. lim_(h→0)1/hf(1-e^h) 存在C. lim_(h→0)1/(h^2)f(h-sinh) 存在D. lim_(h→0)1/h[f(2h)-f(h)] 存在

首先，我们需要理解题目中所给的条件和问题。题目要求我们找出f(x)在x=0处可导的充要条件。我们知道，函数f(x)在x=0处可导的定义是：lim_(x→0)(f(x)-f(0))/x 存在。由于f(0)=0，所以这个条件可以简化为lim_(x→0)(f(x))/x 存在。接下来，我们逐一分析选项，看哪个选项能够满足这个条件。
【解析】
步骤 1：分析选项A
h→0时，1-cosh∼(h^2)/2，且1-cosh≥0。因此，lim_(h→0)(f(1-cosh))/(h^2)=lim_(h→0)(f(1-cosh))/(1-cosh)×(1-cosh)/(h^2)。由于1-cosh∼(h^2)/2，所以lim_(h→0)(1-cosh)/(h^2)=1/2。因此，lim_(h→0)(f(1-cosh))/(h^2)=1/2lim_(h→0)(f(1-cosh))/(1-cosh)。如果f(0)存在，则lim_(h→0)(f(1-cosh))/(h^2)存在；但反过来不成立，因为A成立只能得到f(0)存在。选项A不正确。
步骤 2：分析选项C
h→0时，h-sinh∼(h^2)/2，且h-sinh≥0。因此，lim_(h→0)(f(h-sinh))/(h^2)=lim_(h→0)(f(h-sinh))/(h-sinh)×(h-sinh)/(h^2)。由于h-sinh∼(h^2)/2，所以lim_(h→0)(h-sinh)/(h^2)=1/2。因此，lim_(h→0)(f(h-sinh))/(h^2)=1/2lim_(h→0)(f(h-sinh))/(h-sinh)。这样又转化成选项A的情形，选项C不正确。
步骤 3：分析选项D
举反例f(x)=sgnx(符号函数)，显然满足题目f(0)=0和选项D的要求，但f(x)在x=0处不连续，因而f(x)在x=0处不可导。选项D也不正确。
步骤 4：分析选项B
h→0时，1-e^h∼h。因此，lim_(h→0)(f(1-e^h))/h=lim_(h→0)(f(1-e^h))/(1-e^h)×(1-e^h)/h。由于1-e^h∼h，所以lim_(h→0)(1-e^h)/h=1。因此，lim_(h→0)(f(1-e^h))/h=lim_(h→0)(f(1-e^h))/(1-e^h)。选项B正确。