题目
[2.3]有n个人,每人都有同等的机会被分配到 (nleqslant N) 间房中的任一间去,试求下列各-|||-事件的概率.-|||-(1) A= "某指定的n间房中各有一人";-|||-(2) B= "恰有n间房各有一人";-|||-(3) C= "某指定的一间房中恰有 (mleqslant n) 人".
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算事件A的概率
事件A表示某指定的n间房中各有一人。由于每个人被分配到指定的n间房中的任一间房的机会是均等的，因此，n个人被分配到这n间房中的任一间房的总方法数为N^n。而将n个人分配到某指定的n间房中，相当于n个元素的全排列，即n!种方法。因此，事件A包含的基本事件数为n!，故事件A的概率为P(A) = n! / N^n。
步骤 2：计算事件B的概率
事件B表示恰有n间房各有一人。这n间房可以是N间房中的任意n间，因此，选择n间房的方法数为C(N, n)。将n个人分配到这n间房中，相当于n个元素的全排列，即n!种方法。因此，事件B包含的基本事件数为C(N, n) * n!，故事件B的概率为P(B) = C(N, n) * n! / N^n = N! / (N^n * (N-n)!)。
步骤 3：计算事件C的概率
事件C表示某指定的一间房中恰有m人。从n个人中选m个人分配到指定的一间房中，有C(n, m)种选法。而其余的n-m个人分到其余N-1间房，有(N-1)^(n-m)种方法。因此，事件C包含的基本事件数为C(n, m) * (N-1)^(n-m)，故事件C的概率为P(C) = C(n, m) * (N-1)^(n-m) / N^n = C(n, m) * (1/N)^m * ((N-1)/N)^(n-m)。
事件A表示某指定的n间房中各有一人。由于每个人被分配到指定的n间房中的任一间房的机会是均等的，因此，n个人被分配到这n间房中的任一间房的总方法数为N^n。而将n个人分配到某指定的n间房中，相当于n个元素的全排列，即n!种方法。因此，事件A包含的基本事件数为n!，故事件A的概率为P(A) = n! / N^n。
步骤 2：计算事件B的概率
事件B表示恰有n间房各有一人。这n间房可以是N间房中的任意n间，因此，选择n间房的方法数为C(N, n)。将n个人分配到这n间房中，相当于n个元素的全排列，即n!种方法。因此，事件B包含的基本事件数为C(N, n) * n!，故事件B的概率为P(B) = C(N, n) * n! / N^n = N! / (N^n * (N-n)!)。
步骤 3：计算事件C的概率
事件C表示某指定的一间房中恰有m人。从n个人中选m个人分配到指定的一间房中，有C(n, m)种选法。而其余的n-m个人分到其余N-1间房，有(N-1)^(n-m)种方法。因此，事件C包含的基本事件数为C(n, m) * (N-1)^(n-m)，故事件C的概率为P(C) = C(n, m) * (N-1)^(n-m) / N^n = C(n, m) * (1/N)^m * ((N-1)/N)^(n-m)。