[单选题] 已知函数 f(x)= ,dfrac {1)(n+1)lt xleqslant dfrac (1)(n),n=1,2,... .-|||-2 ......则. A、 x=0是f(x)的第一类间断点B、 x=0是f(x)的第二类间断点C、 f(x)在x=0处连续但不可导D、 f(x)在x=0处可导

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，涉及第一类间断点（可去、跳跃）、第二类间断点的定义，以及导数存在的条件。

解题核心思路：

1. 连续性判断：计算左极限、右极限，与函数值比较；
2. 可导性判断：分别计算左导数和右导数，判断是否相等。

破题关键点：

• 右极限计算：当$x \to 0^+$时，$x$落在区间$\left( \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n} \right]$中，此时$f(x) = \dfrac{1}{n}$，需分析$\dfrac{1}{n}$随$n$的变化趋势；
• 右导数计算：通过差商$\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$的极限分析，结合$n$与$h$的关系，发现极限值与左导数一致。

连续性分析

1. 左极限：当$x \to 0^-$时，$f(x) = x \to 0$；
2. 右极限：当$x \to 0^+$时，$x$落在区间$\left( \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n} \right]$中，此时$f(x) = \dfrac{1}{n}$。由于$n \to +\infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$，故右极限为$0$；
3. 函数值：$f(0) = 0$；
4. 结论：左极限=右极限=函数值，故$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性分析

1. 左导数：当$x \to 0^-$时，$f(x) = x$，左导数为$\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} = 1$；
2. 右导数：当$x \to 0^+$时，$x$落在区间$\left( \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n} \right]$中，此时$f(x) = \dfrac{1}{n}$。差商为：
   $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \dfrac{1/n}{h}$
   由于$h \in \left( \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n} \right]$，可得$\dfrac{1}{n+1} < h \leq \dfrac{1}{n}$，即$n \approx \dfrac{1}{h}$。代入差商得：
   $\dfrac{1/n}{h} \approx \dfrac{1}{(1/h) \cdot h} = 1$
   因此，右导数为$1$；
3. 结论：左导数=右导数=1，故$f(x)$在$x=0$处可导。