lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}((1+cos x))^3sec x;

考查要点：本题主要考查1的∞次方型极限的求解方法，需要利用自然对数的变形技巧和等价无穷小替换。

解题核心思路：
当极限形式为$(1 + f(x))^{g(x)}$且$f(x) \to 0$、$g(x) \to \infty$时，可转化为指数函数形式$e^{\lim f(x) \cdot g(x)}$。本题中，通过取自然对数将原式变形，再利用等价无穷小替换简化计算。

破题关键点：

1. 识别极限类型为$1^\infty$型；
2. 正确应用等价无穷小$\ln(1 + u) \sim u$（当$u \to 0$时）。

设原式为$L = \lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\cos x)}^{3\sec x}$，步骤如下：

取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 3 \sec x \cdot \ln(1 + \cos x)$

等价无穷小替换

当$x \to \frac{\pi}{2}$时，$\cos x \to 0$，此时$\ln(1 + \cos x) \sim \cos x$，代入得：
$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 3 \sec x \cdot \cos x$

化简表达式

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，因此：
$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 3 \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \cos x = 3$

还原指数形式

最终得：
$$
L = e^{\ln L} = e^3

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