题目
(3)lim_(xto0)(xsin(1)/(x)+(sin2x)/(x))=____
(3)$\lim_{x\to0}(x\sin\frac{1}{x}+\frac{\sin2x}{x})$=____
题目解答
答案
将原式拆分为两部分求极限：
1. 对于 $x \sin \frac{1}{x}$，当 $x \to 0$ 时，$\sin \frac{1}{x}$ 有界，$x$ 趋近于0，故极限为0。
2. 对于 $\frac{\sin 2x}{x}$，利用等价无穷小 $\sin 2x \sim 2x$，得 $\frac{\sin 2x}{x} \sim \frac{2x}{x} = 2$，极限为2。
组合两部分结果：
$$
\lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} + \frac{\sin 2x}{x} \right) = 0 + 2 = 2.
$$
答案：$\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是分段求极限的方法，以及等价无穷小替换的应用。
解题核心思路：
将原式拆分为两个部分分别求极限，再相加结果。
- 第一部分 $x \sin \frac{1}{x}$：利用有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小的性质求解。
- 第二部分 $\frac{\sin 2x}{x}$：通过等价无穷小替换 $\sin 2x \sim 2x$ 化简求解。
破题关键点：
- 正确拆分表达式，分别处理不同部分的极限。
- 准确应用极限的运算性质和无穷小替换规则。
第（3）题
将原式拆分为两部分求极限：
第一部分：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
- 分析有界性：$\sin \frac{1}{x}$ 的取值范围为 $[-1, 1]$，即 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。
- 乘积性质：当 $x \to 0$ 时，$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$。
- 结论：根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
第二部分：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$
- 等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$。
- 化简表达式：$\frac{\sin 2x}{x} \sim \frac{2x}{x} = 2$。
- 结论：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$。
综合结果
将两部分的极限相加：
$\lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} + \frac{\sin 2x}{x} \right) = 0 + 2 = 2.$