7.计算下列行列式:-|||-a 1-|||-(4)Dn= 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;-|||-1 a

考查要点：本题主要考查三对角行列式的计算方法，以及利用行列式展开定理或分块矩阵思想进行化简的能力。

解题核心思路：
题目中的行列式结构特殊，主对角线元素均为$a$，仅第一行第二列和第二行第一列各有一个$1$，其余位置均为$0$。此时，行列式可以分解为前两行两列的$2 \times 2$子行列式与剩余$n-2$个$a$的乘积的结合。

破题关键点：

1. 识别行列式的分块结构：前两行两列形成一个非零块，其余对角线元素均为$a$。
2. 利用行列式的乘积性质：整体行列式等于$2 \times 2$子行列式的值乘以剩余$a$的乘积。

步骤1：观察行列式结构

行列式$D_n$的结构如下：
$D_n = \begin{vmatrix}a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\1 & a & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & a & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a\end{vmatrix}$
关键特征：

• 主对角线元素均为$a$。
• 第1行第2列和第2行第1列各有一个$1$，其余非对角线元素为$0$。

步骤2：展开行列式

将行列式按第3行展开（因为第3行除第3个元素外均为$0$），展开后得到：
$D_n = a \cdot \begin{vmatrix}a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\1 & a & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & a & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a\end{vmatrix}_{(n-1)}$
简化分析：

• 剩余的行列式仍保持原结构，但阶数降为$n-1$。
• 通过递推可得，最终结果为$a^{n-2}$乘以$2 \times 2$子行列式的值。

步骤3：计算$2 \times 2$子行列式

前两行两列的子行列式为：
$\begin{vmatrix}a & 1 \\1 & a\end{vmatrix} = a^2 - 1$

步骤4：综合结果

将子行列式的值与剩余$a$的乘积结合，最终结果为：
$D_n = a^{n-2} \cdot (a^2 - 1)$