题目
7.计算下列行列式:-|||-a 1-|||-(4)Dn= 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;-|||-1 a
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解行列式结构
行列式 $D_n$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中对角线上的元素都是 $a$，而对角线以外的元素都是 $1$。例如，当 $n=3$ 时，行列式为：
$$
D_3 = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：使用行列式的性质简化计算
为了计算行列式 $D_n$，我们可以使用行列式的性质来简化计算。首先，我们可以将行列式中的每一行减去第一行，这样可以将行列式中的 $1$ 变为 $0$，从而简化行列式的结构。例如，当 $n=3$ 时，我们有：
$$
D_3 = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1-a & a-1 & 0 \\
1-a & 0 & a-1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：计算行列式
接下来，我们可以使用行列式的展开定理来计算行列式。对于 $n \times n$ 的行列式 $D_n$，我们可以将其展开为：
$$
D_n = a \cdot D_{n-1} - (n-1) \cdot D_{n-2}
$$
其中 $D_{n-1}$ 和 $D_{n-2}$ 分别是 $(n-1) \times (n-1)$ 和 $(n-2) \times (n-2)$ 的行列式。通过递归地计算这些行列式，我们可以得到最终的答案。
步骤 4：验证结果
通过递归地计算行列式，我们可以验证最终的答案为：
$$
D_n = a^{n-2} (a^2 - 1)
$$
行列式 $D_n$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中对角线上的元素都是 $a$，而对角线以外的元素都是 $1$。例如，当 $n=3$ 时，行列式为：
$$
D_3 = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：使用行列式的性质简化计算
为了计算行列式 $D_n$，我们可以使用行列式的性质来简化计算。首先，我们可以将行列式中的每一行减去第一行，这样可以将行列式中的 $1$ 变为 $0$，从而简化行列式的结构。例如，当 $n=3$ 时，我们有：
$$
D_3 = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1-a & a-1 & 0 \\
1-a & 0 & a-1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：计算行列式
接下来，我们可以使用行列式的展开定理来计算行列式。对于 $n \times n$ 的行列式 $D_n$，我们可以将其展开为：
$$
D_n = a \cdot D_{n-1} - (n-1) \cdot D_{n-2}
$$
其中 $D_{n-1}$ 和 $D_{n-2}$ 分别是 $(n-1) \times (n-1)$ 和 $(n-2) \times (n-2)$ 的行列式。通过递归地计算这些行列式，我们可以得到最终的答案。
步骤 4：验证结果
通过递归地计算行列式，我们可以验证最终的答案为：
$$
D_n = a^{n-2} (a^2 - 1)
$$