题目
求极限lim _(narrow infty )sqrt [n](1+{a)^n+(a)^2n}(agt 0)
求极限
题目解答
答案
当
时
当
时
∴
∴
故答案为
解析
步骤 1：提取极限表达式
给定极限表达式为$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}$，其中$a\gt 0$。
步骤 2：分析极限表达式
观察表达式$\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}$，可以将其重写为$\sqrt [n]{{1}^{n}+{a}^{n}+{({a}^{2})}^{n}}$，这有助于我们分析极限。
步骤 3：考虑不同情况下的极限
- 当$0\lt a\leqslant 1$时，随着$n$的增加，${a}^{n}$和${a}^{2n}$趋向于0，因此极限值为1。
- 当$a\gt 1$时，随着$n$的增加，${a}^{2n}$将主导表达式，因此极限值为${a}^{2}$。
步骤 4：总结极限值
根据上述分析，极限值取决于$a$的取值范围，可以总结为$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt a\leqslant 1\\ {a}^{2},a\gt 1\end{matrix} \right.$。
给定极限表达式为$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}$，其中$a\gt 0$。
步骤 2：分析极限表达式
观察表达式$\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}$，可以将其重写为$\sqrt [n]{{1}^{n}+{a}^{n}+{({a}^{2})}^{n}}$，这有助于我们分析极限。
步骤 3：考虑不同情况下的极限
- 当$0\lt a\leqslant 1$时，随着$n$的增加，${a}^{n}$和${a}^{2n}$趋向于0，因此极限值为1。
- 当$a\gt 1$时，随着$n$的增加，${a}^{2n}$将主导表达式，因此极限值为${a}^{2}$。
步骤 4：总结极限值
根据上述分析，极限值取决于$a$的取值范围，可以总结为$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{a}^{n}+{a}^{2n}}=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt a\leqslant 1\\ {a}^{2},a\gt 1\end{matrix} \right.$。