题目
过点P（1，-1）作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线，求切线方程．
过点P（1，-1）作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线，求切线方程．
题目解答
答案
解：化圆的方程为标准方程可得（x-1）2+（y-1）2=1，
∴圆的圆心为（1，1），半径r=1，
设切线的方程为y-（-1）=k（x-1），
整理可得kx-y-k-1=0，
由直线和圆相切可得$\frac{|k-1-k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴所求切线的方程为y-（-1）=±$\sqrt{3}$（x-1），
整理可得$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$-1=0或$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$+1=0
∴圆的圆心为（1，1），半径r=1，
设切线的方程为y-（-1）=k（x-1），
整理可得kx-y-k-1=0，
由直线和圆相切可得$\frac{|k-1-k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴所求切线的方程为y-（-1）=±$\sqrt{3}$（x-1），
整理可得$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$-1=0或$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$+1=0
解析
步骤 1：化圆的方程为标准方程
给定的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$，我们可以通过完成平方来将其化为标准形式。首先，将方程重写为$x^{2}-2x+y^{2}-2y=-1$。然后，我们分别对$x$和$y$的项完成平方，即$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=-1+1+1$，从而得到$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$。这表明圆的中心为$(1,1)$，半径$r=1$。
步骤 2：设切线方程
设过点P（1，-1）的切线方程为$y-(-1)=k(x-1)$，即$y+1=k(x-1)$，整理得到$y=kx-k-1$，或$kx-y-k-1=0$。
步骤 3：利用点到直线的距离公式求解$k$
由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于圆的半径。圆心为$(1,1)$，半径$r=1$。根据点到直线的距离公式，我们有$\frac{|k(1)-1-k-1|}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}=1$，即$\frac{|-2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$。解这个方程得到$k^{2}+1=4$，从而$k^{2}=3$，解得$k=±\sqrt{3}$。
步骤 4：写出切线方程
将$k=±\sqrt{3}$代入切线方程$y=kx-k-1$，得到两条切线方程：$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}-1$和$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-1$。整理得到$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}-1=0$和$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}+1=0$。
给定的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$，我们可以通过完成平方来将其化为标准形式。首先，将方程重写为$x^{2}-2x+y^{2}-2y=-1$。然后，我们分别对$x$和$y$的项完成平方，即$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=-1+1+1$，从而得到$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$。这表明圆的中心为$(1,1)$，半径$r=1$。
步骤 2：设切线方程
设过点P（1，-1）的切线方程为$y-(-1)=k(x-1)$，即$y+1=k(x-1)$，整理得到$y=kx-k-1$，或$kx-y-k-1=0$。
步骤 3：利用点到直线的距离公式求解$k$
由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于圆的半径。圆心为$(1,1)$，半径$r=1$。根据点到直线的距离公式，我们有$\frac{|k(1)-1-k-1|}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}=1$，即$\frac{|-2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$。解这个方程得到$k^{2}+1=4$，从而$k^{2}=3$，解得$k=±\sqrt{3}$。
步骤 4：写出切线方程
将$k=±\sqrt{3}$代入切线方程$y=kx-k-1$，得到两条切线方程：$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}-1$和$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-1$。整理得到$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}-1=0$和$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}+1=0$。