题目
计算 Ⅲxzdxdydz,其中Ω是由平面 =0, z=y =1 以及抛物柱面 =(x)^2 所围成-|||-的闭区域
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域Ω的边界
Ω是由平面 $z=0$ , $z=y$ , $y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^2$ 所围成的闭区域。因此，Ω的顶为平面 $z=y$，底为平面 $z=0$，Ω在xOy面上的投影区域Dxy由 $y=1$ 和 $y=x^2$ 所围成。
步骤 2：确定积分区域Ω的表达式
Ω可用不等式表示为：$0\leqslant z\leqslant y$，$x^2\leqslant y\leqslant 1$，$-1\leqslant x\leqslant 1$。
步骤 3：计算三重积分
根据步骤2中的表达式，计算三重积分 ${\iiint }_{\Omega }xzdxdydz$。
${\iiint }_{\Omega }xzdxdydz={\int }_{-1}^{1}xdx{\int }_{{x}^{2}}^{1}dy{\int }_{0}^{y}zdz$。
$={\int }_{-1}^{1}xdx{\int }_{{x}^{2}}^{1}\dfrac {{y}^{2}}{2}dy$。
$=\dfrac {1}{6}{\int }_{-1}^{1}x(1-{x}^{6})dx$。
$=0$。
步骤 4：验证结果
由于积分区域Ω关于yOz面对称，且被积函数xz关于x是奇函数，因此 $\iiint xzdxdydz=0$。
Ω是由平面 $z=0$ , $z=y$ , $y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^2$ 所围成的闭区域。因此，Ω的顶为平面 $z=y$，底为平面 $z=0$，Ω在xOy面上的投影区域Dxy由 $y=1$ 和 $y=x^2$ 所围成。
步骤 2：确定积分区域Ω的表达式
Ω可用不等式表示为：$0\leqslant z\leqslant y$，$x^2\leqslant y\leqslant 1$，$-1\leqslant x\leqslant 1$。
步骤 3：计算三重积分
根据步骤2中的表达式，计算三重积分 ${\iiint }_{\Omega }xzdxdydz$。
${\iiint }_{\Omega }xzdxdydz={\int }_{-1}^{1}xdx{\int }_{{x}^{2}}^{1}dy{\int }_{0}^{y}zdz$。
$={\int }_{-1}^{1}xdx{\int }_{{x}^{2}}^{1}\dfrac {{y}^{2}}{2}dy$。
$=\dfrac {1}{6}{\int }_{-1}^{1}x(1-{x}^{6})dx$。
$=0$。
步骤 4：验证结果
由于积分区域Ω关于yOz面对称，且被积函数xz关于x是奇函数，因此 $\iiint xzdxdydz=0$。