题目
计算下列极限：(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);-|||-(2) lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x).
计算下列极限：
题目解答
答案
解：
（1）
（2）
解析
步骤 1：分析极限 $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，${x}^{2}$ 趋近于 $0$，而 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x$ 趋近于 $0$ 时在 $[-1, 1]$ 之间振荡。因此，${x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$ 的极限取决于 ${x}^{2}$ 的趋近速度，因为 $\sin \dfrac {1}{x}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间。
步骤 2：分析极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时，$\arctan x$ 趋近于 $\dfrac{\pi}{2}$，而 $x$ 趋近于 $\infty$。因此，$\dfrac {\arctan x}{x}$ 的极限取决于 $\arctan x$ 的趋近速度，因为 $x$ 趋近于 $\infty$。
步骤 3：计算极限
- 对于 $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$，由于 ${x}^{2}$ 趋近于 $0$，而 $\sin \dfrac {1}{x}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间，所以极限为 $0$。
- 对于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$，由于 $\arctan x$ 趋近于 $\dfrac{\pi}{2}$，而 $x$ 趋近于 $\infty$，所以极限为 $0$。
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，${x}^{2}$ 趋近于 $0$，而 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x$ 趋近于 $0$ 时在 $[-1, 1]$ 之间振荡。因此，${x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$ 的极限取决于 ${x}^{2}$ 的趋近速度，因为 $\sin \dfrac {1}{x}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间。
步骤 2：分析极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$
- 当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时，$\arctan x$ 趋近于 $\dfrac{\pi}{2}$，而 $x$ 趋近于 $\infty$。因此，$\dfrac {\arctan x}{x}$ 的极限取决于 $\arctan x$ 的趋近速度，因为 $x$ 趋近于 $\infty$。
步骤 3：计算极限
- 对于 $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$，由于 ${x}^{2}$ 趋近于 $0$，而 $\sin \dfrac {1}{x}$ 被限制在 $[-1, 1]$ 之间，所以极限为 $0$。
- 对于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$，由于 $\arctan x$ 趋近于 $\dfrac{\pi}{2}$，而 $x$ 趋近于 $\infty$，所以极限为 $0$。