题目
8.求下列不定积分:-|||-(2) int dfrac (x+1)({x)^2+x+3}dx ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {x+1}{{x}^{2}+x+3}$ 分解为两部分，一部分是 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {2x+1}{{x}^{2}+x+3}$，另一部分是 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{{x}^{2}+x+3}$。这样做的目的是为了将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算第一个积分
计算 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {2x+1}{{x}^{2}+x+3}dx$。由于分子是分母的导数，所以这个积分可以表示为 $\dfrac {1}{2} \ln |{x}^{2}+x+3| + C_1$。
步骤 3：计算第二个积分
计算 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{{x}^{2}+x+3}dx$。首先，将分母 ${x}^{2}+x+3$ 完全平方，得到 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{(x+\frac {1}{2})^2 + \frac {11}{4}}$。然后，使用 $\arctan$ 的积分公式，得到 $\dfrac {1}{\sqrt {11}} \arctan \dfrac {2x+1}{\sqrt {11}} + C_2$。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终答案。
将被积函数 $\dfrac {x+1}{{x}^{2}+x+3}$ 分解为两部分，一部分是 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {2x+1}{{x}^{2}+x+3}$，另一部分是 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{{x}^{2}+x+3}$。这样做的目的是为了将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算第一个积分
计算 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {2x+1}{{x}^{2}+x+3}dx$。由于分子是分母的导数，所以这个积分可以表示为 $\dfrac {1}{2} \ln |{x}^{2}+x+3| + C_1$。
步骤 3：计算第二个积分
计算 $\int \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{{x}^{2}+x+3}dx$。首先，将分母 ${x}^{2}+x+3$ 完全平方，得到 $\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{(x+\frac {1}{2})^2 + \frac {11}{4}}$。然后，使用 $\arctan$ 的积分公式，得到 $\dfrac {1}{\sqrt {11}} \arctan \dfrac {2x+1}{\sqrt {11}} + C_2$。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终答案。