题目
1.10 解方程 ^3+1=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程转换为复数形式
方程 ${a}^{3}+1=0$ 可以写成 ${a}^{3}=-1$。由于 $-1$ 可以表示为复数 $e^{i\pi}$，因此方程可以写成 ${a}^{3}=e^{i\pi}$。
步骤 2：使用复数的极坐标形式求解
根据复数的极坐标形式，$a$ 可以表示为 $a=re^{i\theta}$，其中 $r$ 是模长，$\theta$ 是幅角。由于 $a^3 = e^{i\pi}$，我们可以得到 $r^3e^{i3\theta} = e^{i\pi}$。由此可知 $r^3 = 1$，因此 $r = 1$。同时，$3\theta = \pi + 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。因此，$\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$。
步骤 3：求解方程的根
根据步骤 2，我们可以得到方程的三个根：
- 当 $k=0$ 时，$\theta = \frac{\pi}{3}$，因此 $a_0 = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
- 当 $k=1$ 时，$\theta = \pi$，因此 $a_1 = e^{i\pi} = -1$。
- 当 $k=2$ 时，$\theta = \frac{5\pi}{3}$，因此 $a_2 = e^{i5\pi/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
方程 ${a}^{3}+1=0$ 可以写成 ${a}^{3}=-1$。由于 $-1$ 可以表示为复数 $e^{i\pi}$，因此方程可以写成 ${a}^{3}=e^{i\pi}$。
步骤 2：使用复数的极坐标形式求解
根据复数的极坐标形式，$a$ 可以表示为 $a=re^{i\theta}$，其中 $r$ 是模长，$\theta$ 是幅角。由于 $a^3 = e^{i\pi}$，我们可以得到 $r^3e^{i3\theta} = e^{i\pi}$。由此可知 $r^3 = 1$，因此 $r = 1$。同时，$3\theta = \pi + 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。因此，$\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$。
步骤 3：求解方程的根
根据步骤 2，我们可以得到方程的三个根：
- 当 $k=0$ 时，$\theta = \frac{\pi}{3}$，因此 $a_0 = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
- 当 $k=1$ 时，$\theta = \pi$，因此 $a_1 = e^{i\pi} = -1$。
- 当 $k=2$ 时，$\theta = \frac{5\pi}{3}$，因此 $a_2 = e^{i5\pi/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。