题目
计算(2)iintlimits_(D)(x^2+y^2)dsigma，其中D是由x^2+y^2=2ax与x轴围成的上半部分的闭区域；
计算$(2)\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma$，其中D是由$x^{2}+y^{2}=2ax$与x轴围成的上半部分的闭区域；
题目解答
答案
将区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 2a \cos \theta$。被积函数变为 $r^2$，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$。积分表达式为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr \, d\theta.
$$
先对 $r$ 积分得：
$$
\int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2a \cos \theta} = 4a^4 \cos^4 \theta.
$$
再对 $\theta$ 积分，利用 $\cos^4 \theta = \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8}$，得：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4a^4 \cos^4 \theta \, d\theta = 4a^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8} \right) \, d\theta = 4a^4 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi a^4}{4}.
$$
**答案：** $\boxed{\frac{3\pi a^4}{4}}$
解析
步骤 1：转换极坐标
将区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 2a \cos \theta$。被积函数变为 $r^2$，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$。积分表达式为： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr \, d\theta. $$
步骤 2：对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分得： $$ \int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2a \cos \theta} = 4a^4 \cos^4 \theta. $$
步骤 3：对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分，利用 $\cos^4 \theta = \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8}$，得： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4a^4 \cos^4 \theta \, d\theta = 4a^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8} \right) \, d\theta = 4a^4 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi a^4}{4}. $$
将区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 2a \cos \theta$。被积函数变为 $r^2$，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$。积分表达式为： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr \, d\theta. $$
步骤 2：对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分得： $$ \int_{0}^{2a \cos \theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2a \cos \theta} = 4a^4 \cos^4 \theta. $$
步骤 3：对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分，利用 $\cos^4 \theta = \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8}$，得： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4a^4 \cos^4 \theta \, d\theta = 4a^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{8} + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 4\theta}{8} \right) \, d\theta = 4a^4 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi a^4}{4}. $$