题目
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为(X,Y)，则系数(X,Y)________。
设二维连续型随机变量
的联合概率密度函数为
，则系数
________。
题目解答
答案
12
解析
步骤 1：确定联合概率密度函数的性质
联合概率密度函数f(x,y)需要满足在整个定义域上的积分为1，即$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$。由于f(x,y)在x>0,y>0时为ke^{-(3x+4y)}，在其他区域为0，因此只需考虑x>0,y>0的区域。
步骤 2：计算积分
计算$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}ke^{-(3x+4y)}dxdy$。首先对x积分，得到$\int_{0}^{\infty}ke^{-3x}dx=\frac{k}{3}$。然后对y积分，得到$\int_{0}^{\infty}\frac{k}{3}e^{-4y}dy=\frac{k}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k}{12}$。
步骤 3：确定k的值
根据联合概率密度函数的性质，$\frac{k}{12}=1$，解得k=12。
联合概率密度函数f(x,y)需要满足在整个定义域上的积分为1，即$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$。由于f(x,y)在x>0,y>0时为ke^{-(3x+4y)}，在其他区域为0，因此只需考虑x>0,y>0的区域。
步骤 2：计算积分
计算$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}ke^{-(3x+4y)}dxdy$。首先对x积分，得到$\int_{0}^{\infty}ke^{-3x}dx=\frac{k}{3}$。然后对y积分，得到$\int_{0}^{\infty}\frac{k}{3}e^{-4y}dy=\frac{k}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k}{12}$。
步骤 3：确定k的值
根据联合概率密度函数的性质，$\frac{k}{12}=1$，解得k=12。