题目
5.(1)若 ^3-(A)^2+2A-E=0, 证明A可逆,并求 A^(-1);-|||-(2)若 ^2-A-4E=0, 证明 A+E 可逆,并求 ((A+E))^-1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明A可逆
由 ${A}^{3}-{A}^{2}+2A-E=0$ , 可以得到 ${A}_{({A}^{2}-A+2E)}=E$ 。这意味着A乘以矩阵 ${A}^{2}-A+2E$ 等于单位矩阵E。因此，A是可逆的，且 ${A}^{-1}={A}^{2}-A+2E$ 。
步骤 2：证明A+E可逆
由 ${A}^{2}-A-4E=0$ , 可以得到 ${A}^{2}-A-2E=2E$ 。从而 (A+E)(A-2E)= 2E。这意味着 (A+E) 乘以矩阵 $\dfrac {A-2E}{2}$ 等于单位矩阵E。因此，A+E是可逆的，且 ${(A+E)}^{-1}=\dfrac {1}{2}A-E$ 。
由 ${A}^{3}-{A}^{2}+2A-E=0$ , 可以得到 ${A}_{({A}^{2}-A+2E)}=E$ 。这意味着A乘以矩阵 ${A}^{2}-A+2E$ 等于单位矩阵E。因此，A是可逆的，且 ${A}^{-1}={A}^{2}-A+2E$ 。
步骤 2：证明A+E可逆
由 ${A}^{2}-A-4E=0$ , 可以得到 ${A}^{2}-A-2E=2E$ 。从而 (A+E)(A-2E)= 2E。这意味着 (A+E) 乘以矩阵 $\dfrac {A-2E}{2}$ 等于单位矩阵E。因此，A+E是可逆的，且 ${(A+E)}^{-1}=\dfrac {1}{2}A-E$ 。