题目
求指导本题解题过程，谢谢您！3、计算 iint int ((x)^2+(y)^2)dy, 其中积分区域Ω是由曲面 =(x)^2+(y)^2 及平面 z=4 所围成的-|||-区域.-|||-个-|||-4-|||-o
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域Ω是由曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 及平面 $z=4$ 所围成的区域。这意味着在 $z=4$ 平面上，$x^2+y^2=4$，即一个半径为2的圆。因此，积分区域在xy平面上是一个半径为2的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标转换。在极坐标中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，积分可以写为：
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{4} r^2 dz r dr d\theta$$
步骤 3：计算积分
首先，对z积分：
$$\int_{r^2}^{4} r^2 dz = r^2(4-r^2)$$
然后，对r积分：
$$\int_{0}^{2} r^2(4-r^2) r dr = \int_{0}^{2} (4r^3-r^5) dr = \left[ r^4 - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2} = 16 - \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$
最后，对$\theta$积分：
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3} d\theta = \frac{32}{3} \cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$$
积分区域Ω是由曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 及平面 $z=4$ 所围成的区域。这意味着在 $z=4$ 平面上，$x^2+y^2=4$，即一个半径为2的圆。因此，积分区域在xy平面上是一个半径为2的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标转换。在极坐标中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，积分可以写为：
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{4} r^2 dz r dr d\theta$$
步骤 3：计算积分
首先，对z积分：
$$\int_{r^2}^{4} r^2 dz = r^2(4-r^2)$$
然后，对r积分：
$$\int_{0}^{2} r^2(4-r^2) r dr = \int_{0}^{2} (4r^3-r^5) dr = \left[ r^4 - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2} = 16 - \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$
最后，对$\theta$积分：
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3} d\theta = \frac{32}{3} \cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$$