七、求下列不定积分-|||-56. int ln (sqrt (1+{x)^2}-x)dx;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对复杂被积函数的化简能力。关键在于正确选择分部积分中的$u$和$dv$，并利用代数技巧简化积分过程。

解题核心思路：

1. 分部积分法：选择$u = \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$，$dv = dx$，将原积分转化为更简单的积分形式。
2. 导数化简：通过求导并化简，将复杂的被积函数转化为基本积分形式。
3. 换元积分法：对简化后的积分使用换元法，完成最终计算。

破题关键点：

• 识别分部积分的适用性：对数函数的积分通常适合分部积分。
• 导数化简技巧：通过分子分母的变形，将导数结果化简为$\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$，从而简化后续积分。

分部积分法应用

1. 设$u$和$dv$：
   设$u = \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$，则$du = \frac{d}{dx} \ln(\sqrt{1+x^2} - x) \, dx$。
   设$dv = dx$，则$v = x$。

2. 分部积分公式：
   根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，原积分变为：
   $\int \ln(\sqrt{1+x^2} - x) \, dx = x \ln(\sqrt{1+x^2} - x) - \int x \cdot \frac{d}{dx} \ln(\sqrt{1+x^2} - x) \, dx$

导数计算与化简

3. 求导并化简：
   计算$\frac{d}{dx} \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$：
   $\frac{d}{dx} \ln(\sqrt{1+x^2} - x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - 1 \right)$
   通分后分子为$x - \sqrt{1+x^2}$，分母为$\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2} - x)$，约分得：
   $\frac{d}{dx} \ln(\sqrt{1+x^2} - x) = \frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$

积分化简与换元

4. 代入分部积分结果：
   原积分变为：
   $x \ln(\sqrt{1+x^2} - x) + \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$

5. 换元积分法：
   设$u = 1+x^2$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} du$。积分变为：
   $\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \sqrt{u} + C = \sqrt{1+x^2} + C$