七、求下列不定积分-|||-56. int ln (sqrt (1+{x)^2}-x)dx;

步骤 1：使用分部积分法
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。我们设 $u = \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{\sqrt {1+{x}^{2}}-x} \cdot \frac{1}{2\sqrt {1+{x}^{2}}} \cdot 2x - 1 dx = \frac{x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} - 1 dx$，$v = x$。
步骤 2：计算 $uv$
$uv = x \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$。
步骤 3：计算 $\int v du$
$\int v du = \int x \left( \frac{x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} - 1 \right) dx = \int \frac{x^2}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx - \int x dx$。
步骤 4：计算 $\int \frac{x^2}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$
$\int \frac{x^2}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx = \int \frac{1+{x}^{2}-1}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx = \int \sqrt {1+{x}^{2}} dx - \int \frac{1}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$。
步骤 5：计算 $\int \sqrt {1+{x}^{2}} dx$
$\int \sqrt {1+{x}^{2}} dx = \frac{1}{2}x\sqrt {1+{x}^{2}} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt {1+{x}^{2}}) + C_1$。
步骤 6：计算 $\int \frac{1}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$
$\int \frac{1}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx = \ln(x + \sqrt {1+{x}^{2}}) + C_2$。
步骤 7：计算 $\int x dx$
$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_3$。
步骤 8：合并所有结果
$\int \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)dx = x \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x) + \frac{1}{2}x\sqrt {1+{x}^{2}} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt {1+{x}^{2}}) - \ln(x + \sqrt {1+{x}^{2}}) - \frac{1}{2}x^2 + C$。
步骤 9：简化结果
$\int \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)dx = x \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x) + \sqrt {1+{x}^{2}} - \frac{1}{2}x^2 + C$。