题目
8.设A, B 是n 阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩， (X , Y) 表示分块矩阵，则()(A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A)(C) r(A, B) = max(r(A), r(B)) (D) r(A, B) = r(AT , BT )
8.设A, B 是n 阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩， (X , Y) 表示分块矩阵，则()(A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A)(C) r(A, B) = max{r(A), r(B)} (D) r(A, B) = r(AT , BT )
题目解答
答案
【答案】(A )【解析】把矩阵A, AB 按列分块， 记A = (a ,a ,L a ), AB = (b , b ,L b ) ，则向1 2 n 1 2 n量组b , b ,L b 可以由向量组a ,a ,L a 线性表出，从而a ,a ,L a 与
解析
步骤 1：分析选项 (A)
矩阵 (A, AB) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 AB 按列分块。由于 AB 是 A 与 B 的乘积，因此 AB 的列向量可以由 A 的列向量线性表出。因此，矩阵 (A, AB) 的列向量组的秩与 A 的列向量组的秩相同，即 r(A, AB) = r(A)。
步骤 2：分析选项 (B)
矩阵 (A, BA) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 BA 按列分块。由于 BA 是 B 与 A 的乘积，因此 BA 的列向量可以由 A 的列向量线性表出。因此，矩阵 (A, BA) 的列向量组的秩与 A 的列向量组的秩相同，即 r(A, BA) = r(A)。但是，这并不一定总是成立，因为 B 可能不是满秩矩阵，因此 BA 的列向量组的秩可能小于 A 的列向量组的秩。
步骤 3：分析选项 (C)
矩阵 (A, B) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 B 按列分块。矩阵 (A, B) 的列向量组的秩是 A 和 B 的列向量组的秩的最大值，即 r(A, B) = max{r(A), r(B)}。但是，这并不一定总是成立，因为 A 和 B 的列向量组可能有线性相关性，因此 (A, B) 的列向量组的秩可能小于 A 和 B 的列向量组的秩的最大值。
步骤 4：分析选项 (D)
矩阵 (A, B) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 B 按列分块。矩阵 (A, B) 的列向量组的秩与矩阵 (AT , BT) 的列向量组的秩相同，即 r(A, B) = r(AT , BT)。这是因为矩阵的秩与其转置矩阵的秩相同，即 r(A) = r(AT) 和 r(B) = r(BT)。
矩阵 (A, AB) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 AB 按列分块。由于 AB 是 A 与 B 的乘积，因此 AB 的列向量可以由 A 的列向量线性表出。因此，矩阵 (A, AB) 的列向量组的秩与 A 的列向量组的秩相同，即 r(A, AB) = r(A)。
步骤 2：分析选项 (B)
矩阵 (A, BA) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 BA 按列分块。由于 BA 是 B 与 A 的乘积，因此 BA 的列向量可以由 A 的列向量线性表出。因此，矩阵 (A, BA) 的列向量组的秩与 A 的列向量组的秩相同，即 r(A, BA) = r(A)。但是，这并不一定总是成立，因为 B 可能不是满秩矩阵，因此 BA 的列向量组的秩可能小于 A 的列向量组的秩。
步骤 3：分析选项 (C)
矩阵 (A, B) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 B 按列分块。矩阵 (A, B) 的列向量组的秩是 A 和 B 的列向量组的秩的最大值，即 r(A, B) = max{r(A), r(B)}。但是，这并不一定总是成立，因为 A 和 B 的列向量组可能有线性相关性，因此 (A, B) 的列向量组的秩可能小于 A 和 B 的列向量组的秩的最大值。
步骤 4：分析选项 (D)
矩阵 (A, B) 可以看作是将矩阵 A 和矩阵 B 按列分块。矩阵 (A, B) 的列向量组的秩与矩阵 (AT , BT) 的列向量组的秩相同，即 r(A, B) = r(AT , BT)。这是因为矩阵的秩与其转置矩阵的秩相同，即 r(A) = r(AT) 和 r(B) = r(BT)。