题目

4.设A,B,C为随机事件,且A,C互不相容,P(AB)=1/2 P(C)=1/3,求P(AB|→C).

题目解答

答案

由题意知 $P(AB\overline {C})=P(AB)-P(ABC)$, 又A,C互不相容,即 $AC=x$, 故 $ABC=x$, 从而 $P(AB\overline {C})=P(AB)-P(ABC)=P(AB)=\dfrac {1}{2}$ 又 $P(\overline {C})=1-P(C)=\dfrac {2}{3}$, 故由条件概率知 $P(AB|\overline {C})=\dfrac {P(AB\overline {C})}{P(\overline {C})}=\dfrac {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {2}{3}}=\dfrac {3}{4}$,
$\dfrac{3}{4}$

解析

步骤 1：确定互不相容事件的性质
由于事件A和C互不相容，即$AC=\emptyset$，这意味着事件A和C不能同时发生。因此，事件ABC也为空集，即$ABC=\emptyset$。

步骤 2：计算$P(AB\overline{C})$
由于$ABC=\emptyset$，则$P(ABC)=0$。因此，$P(AB\overline{C})=P(AB)-P(ABC)=P(AB)-0=P(AB)=\dfrac{1}{2}$。

步骤 3：计算$P(\overline{C})$
事件$\overline{C}$表示事件C不发生，因此$P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$。

步骤 4：计算条件概率$P(AB|\overline{C})$
根据条件概率的定义，$P(AB|\overline{C})=\dfrac{P(AB\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}$。