132 lim _(xarrow 0)dfrac (cos (sin x)-cos x)((1-cos x){sin )^2x}=-|||-(A)1. (B) dfrac (1)(2) (C) dfrac (1)(3) (D)0.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用泰勒展开或等价无穷小处理复杂分式极限的能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$\cos(\sin x) - \cos x$和分母$(1 - \cos x)\sin^2 x$均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。需展开分子和分母的高阶项，找到主导项的系数比值。关键点在于将分子和分母分别展开到足够高的阶数（如$x^4$），忽略高阶无穷小，最终通过系数比值求得极限。

分子展开

1. 展开$\sin x$：
   $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
2. 代入$\cos(\sin x)$：
   $\cos(\sin x) = \cos\left(x - \frac{x^3}{6}\right) \approx 1 - \frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2}{2} + \frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^4}{24}$
   展开后保留到$x^4$项：
   $\cos(\sin x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} + \frac{x^4}{24} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$
3. 计算$\cos(\sin x) - \cos x$：
   $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
   相减得：
   $\cos(\sin x) - \cos x = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = \frac{x^4}{6}$

分母展开

1. 展开$1 - \cos x$：
   $1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
2. 展开$\sin^2 x$：
   $\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)$
3. 相乘：
   $(1 - \cos x)\sin^2 x = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right)\left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) \approx \frac{x^4}{2} + o(x^4)$

极限计算

分子主导项为$\frac{x^4}{6}$，分母主导项为$\frac{x^4}{2}$，故：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{(1 - \cos x)\sin^2 x} = \frac{\frac{x^4}{6}}{\frac{x^4}{2}} = \frac{1}{3}$