132 lim _(xarrow 0)dfrac (cos (sin x)-cos x)((1-cos x){sin )^2x}=-|||-(A)1. (B) dfrac (1)(2) (C) dfrac (1)(3) (D)0.A、AB、BC、CD、D

步骤 1：使用泰勒展开式
首先，我们使用泰勒展开式来近似 $\cos(\sin x)$ 和 $\cos x$。当 $x$ 接近 $0$ 时，$\sin x$ 也接近 $0$，因此我们可以使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式来简化问题。
步骤 2：泰勒展开式
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(\sin x)^2}{2} + O((\sin x)^4)$
步骤 3：代入泰勒展开式
将 $\sin x$ 的泰勒展开式代入 $\cos(\sin x)$ 的泰勒展开式中，得到：
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^2}{2} + O(x^4)$
$= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} + O(x^4)$
步骤 4：计算极限
将 $\cos(\sin x)$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式代入原式中，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x){\sin }^{2}x}$
$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} + O(x^4)) - (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))}{(1 - (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)))x^2}$
$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{x^4}{6} + O(x^4)}{\frac{x^4}{2} + O(x^4)}$
$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{6} + O(x^0)}{\frac{1}{2} + O(x^0)}$
$= \frac{1}{3}$