题目

设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为：f_X(x)=cases ( (1)/(2)e^-(x)/(2),xgeqslant 0 cr 0,x<0cr)f_Y(y)=cases ( (1)/(3)e^-(y)/(3),ygeqslant 0 cr 0,y<0cr)求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。

设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为：

$f_X(x)=\cases { \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}},x\geqslant 0 \cr 0,x<0\cr}$$f_Y(y)=\cases { \frac{1}{3}e^{-\frac{y}{3}},y\geqslant 0 \cr 0,y<0\cr}$

求随机变量$Z=X+Y$的概率密度函数。

题目解答

答案

由于X,Y相互独立，(X,Y)的概率密度为：

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

         $=\cases { \frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2}\cdot -\frac{y}{3} },x\geqslant 0,y\geqslant 0 \cr 0,其他\cr}$

当$z<0$时，$F_Z(z)=0$,

当$z\geqslant 0$时,

$F_Z(z)=\int_{0}^{z} \int_{0}^{z-x} {\frac{1}{6}e^{\frac{x}{2}\cdot -\frac{y}{3} } }\,{\rm dx}{\rm dy}$

         $=\int_{0}^{z} {\frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2} } }\,{\rm dx}\int_{0}^{z-x} {e^{-\frac{y}{3} }}\,{\rm dy}$

         $=\int_{0}^{z} {\frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2} } }\cdot (3-3e^{-\frac{z-x}{3} })\,{\rm dx}$

         $=1+2e^{-\frac{z}{2} }-3e^{-\frac{z}{3} }$

所以$f_Z(z)=\cases { e^{-\frac{z}{3} }-e^{-\frac{z}{2} },z\geqslant 0\cr 0,z<0\cr}$。

解析

步骤 1：确定联合概率密度函数
由于随机变量X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数为$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。根据题目给出的概率密度函数，我们有：
$f(x,y)=\cases { \frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}},x\geqslant 0,y\geqslant 0 \cr 0,其他\cr}$

步骤 2：计算累积分布函数$F_Z(z)$
随机变量$Z=X+Y$的累积分布函数$F_Z(z)$定义为$F_Z(z)=P(Z\leqslant z)$。对于$z<0$，$F_Z(z)=0$。对于$z\geqslant 0$，我们有：
$F_Z(z)=\int_{0}^{z} \int_{0}^{z-x} f(x,y)\,{\rm dy}{\rm dx}$
$=\int_{0}^{z} \int_{0}^{z-x} \frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}}\,{\rm dy}{\rm dx}$
$=\int_{0}^{z} \frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2}}\int_{0}^{z-x} e^{-\frac{y}{3}}\,{\rm dy}{\rm dx}$
$=\int_{0}^{z} \frac{1}{6}e^{-\frac{x}{2}}\cdot (3-3e^{-\frac{z-x}{3}})\,{\rm dx}$
$=\int_{0}^{z} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}-e^{-\frac{z}{3}}e^{-\frac{x}{2}}\,{\rm dx}$
$=1+2e^{-\frac{z}{2}}-3e^{-\frac{z}{3}}$

步骤 3：计算概率密度函数$f_Z(z)$
随机变量$Z$的概率密度函数$f_Z(z)$是累积分布函数$F_Z(z)$的导数。因此，我们有：
$f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_Z(z)$
$=\frac{d}{dz}(1+2e^{-\frac{z}{2}}-3e^{-\frac{z}{3}})$
$=e^{-\frac{z}{3}}-e^{-\frac{z}{2}}$
对于$z<0$，$f_Z(z)=0$。