[题目]函数 =ln dfrac (x)(x-2)+arcsin dfrac (x)(3) 的定义域为-|||-()-|||-A、 (-infty ,-3)cup (-3,2)-|||-,(0,3)-|||-C、 [ -3,0)cup (2,3] -|||-D、 (-infty ,+infty )

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及对数函数和反三角函数的定义域条件，需要综合两个部分的定义域并取交集。

解题核心思路：

1. 分部分分析：分别求出$\ln \dfrac{x}{x-2}$和$\arcsin \dfrac{x}{3}$的定义域。
2. 联立条件：将两个部分的定义域条件联立，求出它们的公共解集。

破题关键点：

• 对数函数$\ln \dfrac{x}{x-2}$要求$\dfrac{x}{x-2} > 0$，需分情况讨论分子分母符号。
• 反三角函数$\arcsin \dfrac{x}{3}$要求$-1 \leq \dfrac{x}{3} \leq 1$，即$x$的范围被限制在有限区间内。

步骤1：求$\ln \dfrac{x}{x-2}$的定义域

分式$\dfrac{x}{x-2} > 0$的条件是分子与分母同号：

1. 分子分母同正：
   $x > 0$且$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$。
2. 分子分母同负：
   $x < 0$且$x - 2 < 0 \Rightarrow x < 0$。
   综上，$\ln$部分的定义域为$x < 0$或$x > 2$。

步骤2：求$\arcsin \dfrac{x}{3}$的定义域

要求$-1 \leq \dfrac{x}{3} \leq 1$，解得：
$-3 \leq x \leq 3.$

步骤3：联立两个部分的定义域

1. 联立$x < 0$与$-3 \leq x \leq 3$：
   得$-3 \leq x < 0$。
2. 联立$x > 2$与$-3 \leq x \leq 3$：
   得$2 < x \leq 3$。
   最终定义域为$[-3, 0) \cup (2, 3]$。