题目
10． 设 A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列叙述正确的是()．A．(AB)C=A(BC)B．若 AB=AC，则 B=CC．若 AB=0，则 A=0 或 B=0D．若 A2=A，则 A=E 或 A=0
10． 设 A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列叙述正确的是()．A．(AB)C=A(BC)B．若 AB=AC，则 B=CC．若 AB=0，则 A=0 或 B=0D．若 A2=A，则 A=E 或 A=0
题目解答
答案
正确答案：A解析：本题考察的是矩阵的性质．填空题
解析
步骤 1：矩阵乘法的结合律
矩阵乘法满足结合律，即对于任意的 n 阶方阵 A，B，C，有 (AB)C = A(BC)。这是因为矩阵乘法的定义是基于线性变换的复合，而线性变换的复合满足结合律。
步骤 2：矩阵乘法的消去律
矩阵乘法不满足消去律，即若 AB = AC，不能推出 B = C。这是因为矩阵乘法中存在零因子，即存在非零矩阵 A 和 B，使得 AB = 0。因此，即使 AB = AC，也不能保证 B = C。
步骤 3：矩阵乘积为零矩阵的条件
若 AB = 0，不能推出 A = 0 或 B = 0。这是因为矩阵乘法中存在零因子，即存在非零矩阵 A 和 B，使得 AB = 0。因此，即使 AB = 0，也不能保证 A = 0 或 B = 0。
步骤 4：矩阵的幂
若 A^2 = A，则 A 不一定等于 E 或 0。这是因为存在非零矩阵 A，使得 A^2 = A。例如，对于 n 阶单位矩阵 E，有 E^2 = E；对于 n 阶零矩阵 0，有 0^2 = 0。但是，也存在非零矩阵 A，使得 A^2 = A，但 A ≠ E 且 A ≠ 0。
矩阵乘法满足结合律，即对于任意的 n 阶方阵 A，B，C，有 (AB)C = A(BC)。这是因为矩阵乘法的定义是基于线性变换的复合，而线性变换的复合满足结合律。
步骤 2：矩阵乘法的消去律
矩阵乘法不满足消去律，即若 AB = AC，不能推出 B = C。这是因为矩阵乘法中存在零因子，即存在非零矩阵 A 和 B，使得 AB = 0。因此，即使 AB = AC，也不能保证 B = C。
步骤 3：矩阵乘积为零矩阵的条件
若 AB = 0，不能推出 A = 0 或 B = 0。这是因为矩阵乘法中存在零因子，即存在非零矩阵 A 和 B，使得 AB = 0。因此，即使 AB = 0，也不能保证 A = 0 或 B = 0。
步骤 4：矩阵的幂
若 A^2 = A，则 A 不一定等于 E 或 0。这是因为存在非零矩阵 A，使得 A^2 = A。例如，对于 n 阶单位矩阵 E，有 E^2 = E；对于 n 阶零矩阵 0，有 0^2 = 0。但是，也存在非零矩阵 A，使得 A^2 = A，但 A ≠ E 且 A ≠ 0。