题目
8.计算下列各行列式(D4为k阶行列式):-|||-a 1-|||-(1)Dn= 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;-|||-1 a
题目解答
答案
解析
步骤 1：行列式展开
行列式 \(D_n\) 是一个 \(n \times n\) 的矩阵，其中对角线上的元素都是 \(a\)，而对角线以外的元素都是 \(0\)，除了第一行和第一列的元素是 \(1\)。我们可以使用行列式的展开定理来计算这个行列式。
步骤 2：递推关系
我们可以通过展开行列式来找到一个递推关系。首先，我们选择第一行进行展开。第一行的第一个元素是 \(a\)，其余元素都是 \(1\)。因此，行列式可以写成：
\[ D_n = a \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2} \]
其中 \(D_{n-1}\) 是一个 \((n-1) \times (n-1)\) 的行列式，而 \(D_{n-2}\) 是一个 \((n-2) \times (n-2)\) 的行列式。
步骤 3：计算基础情况
我们需要计算基础情况 \(D_1\) 和 \(D_2\)。
\[ D_1 = a \]
\[ D_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1 \]
步骤 4：递推计算
根据递推关系，我们可以计算出 \(D_n\)。
\[ D_3 = a \cdot D_2 - 1 \cdot D_1 = a(a^2 - 1) - a = a^3 - 2a \]
\[ D_4 = a \cdot D_3 - 1 \cdot D_2 = a(a^3 - 2a) - (a^2 - 1) = a^4 - 3a^2 + 1 \]
通过观察，我们可以发现 \(D_n\) 的形式为：
\[ D_n = a^{n-1} \cdot (a^2 - 1) \]
行列式 \(D_n\) 是一个 \(n \times n\) 的矩阵，其中对角线上的元素都是 \(a\)，而对角线以外的元素都是 \(0\)，除了第一行和第一列的元素是 \(1\)。我们可以使用行列式的展开定理来计算这个行列式。
步骤 2：递推关系
我们可以通过展开行列式来找到一个递推关系。首先，我们选择第一行进行展开。第一行的第一个元素是 \(a\)，其余元素都是 \(1\)。因此，行列式可以写成：
\[ D_n = a \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2} \]
其中 \(D_{n-1}\) 是一个 \((n-1) \times (n-1)\) 的行列式，而 \(D_{n-2}\) 是一个 \((n-2) \times (n-2)\) 的行列式。
步骤 3：计算基础情况
我们需要计算基础情况 \(D_1\) 和 \(D_2\)。
\[ D_1 = a \]
\[ D_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1 \]
步骤 4：递推计算
根据递推关系，我们可以计算出 \(D_n\)。
\[ D_3 = a \cdot D_2 - 1 \cdot D_1 = a(a^2 - 1) - a = a^3 - 2a \]
\[ D_4 = a \cdot D_3 - 1 \cdot D_2 = a(a^3 - 2a) - (a^2 - 1) = a^4 - 3a^2 + 1 \]
通过观察，我们可以发现 \(D_n\) 的形式为：
\[ D_n = a^{n-1} \cdot (a^2 - 1) \]