题目
(5) lim _(xarrow 0)((dfrac {{a)^x+(b)^x+(c)^x}(3))}^dfrac (1{x)}(agt 0,aneq 1;bgt 0 neq 1;cgt 0,cneq 1) ;
题目解答
答案
本题考查了极限的运算，属于基础题。
$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}={\left[\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[{\left(\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}-3}{\mathit{x}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[\dfrac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{a}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{b}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{c}}{3}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\dfrac{\ln \mathit{a}+\ln \mathit{b}+\ln \mathit{c}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\ln \sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}$
$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}={\left[\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[{\left(\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}-3}{\mathit{x}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[\dfrac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{a}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{b}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{c}}{3}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\dfrac{\ln \mathit{a}+\ln \mathit{b}+\ln \mathit{c}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\ln \sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}$
解析
步骤 1：应用极限的性质
首先，我们注意到极限的表达式可以写成指数函数的形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$。为了简化计算，我们可以将这个表达式写成 $e$ 的指数形式，即 $e^{\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋近于 $0$，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，如果 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 3：计算导数
我们计算 $\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$ 的导数。根据链式法则，我们有 $\frac{d}{dx}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{1}{\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}}\cdot\frac{d}{dx}(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。进一步计算导数，我们得到 $\frac{d}{dx}(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{1}{3}({a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c)$。因此，$\frac{d}{dx}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}$。
步骤 4：计算极限
现在，我们可以计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，${a}^{x}\rightarrow 1$，${b}^{x}\rightarrow 1$，${c}^{x}\rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}} = \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}$。
步骤 5：计算最终答案
最后，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}} = e^{\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = e^{\ln \sqrt[3]{abc}} = \sqrt[3]{abc}$。
首先，我们注意到极限的表达式可以写成指数函数的形式，即 $\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$。为了简化计算，我们可以将这个表达式写成 $e$ 的指数形式，即 $e^{\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。由于当 $x\rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋近于 $0$，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，如果 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 3：计算导数
我们计算 $\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$ 的导数。根据链式法则，我们有 $\frac{d}{dx}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{1}{\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}}\cdot\frac{d}{dx}(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。进一步计算导数，我们得到 $\frac{d}{dx}(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{1}{3}({a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c)$。因此，$\frac{d}{dx}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}$。
步骤 4：计算极限
现在，我们可以计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\ln(\frac{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}) = \lim _{x\rightarrow 0}\frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，${a}^{x}\rightarrow 1$，${b}^{x}\rightarrow 1$，${c}^{x}\rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{{a}^{x}\ln a + {b}^{x}\ln b + {c}^{x}\ln c}{{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}} = \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}$。
步骤 5：计算最终答案
最后，我们得到 $\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}} = e^{\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = e^{\ln \sqrt[3]{abc}} = \sqrt[3]{abc}$。