(5) lim _(xarrow 0)((dfrac {{a)^x+(b)^x+(c)^x}(3))}^dfrac (1{x)}(agt 0,aneq 1;bgt 0 neq 1;cgt 0,cneq 1) ;
题目解答
答案
$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}={\left[\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{\mathit{x}}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[{\left(\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}-3}{\mathit{x}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left[\dfrac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{{\mathit{a}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{a}+{\mathit{b}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{b}+{\mathit{c}}^{\mathit{x}}\ln \mathit{c}}{3}\right]}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\dfrac{\ln \mathit{a}+\ln \mathit{b}+\ln \mathit{c}}{3}\right)}^{\tfrac{1}{3}}={\left(\ln \sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}\right)}^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[{3}]{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}}$
解析
考查要点：本题主要考查1的∞次方型极限的求解方法，需要灵活运用等价无穷小替换和对数恒等变形。
解题核心思路：
当极限形式为$1^\infty$型时，通常将其转化为指数函数形式，利用$\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{1/x} = e^k$的结论。本题的关键是对表达式取自然对数，将指数部分线性化，再结合泰勒展开或等价无穷小替换简化运算。
破题关键点：
- 识别极限类型：确认为$1^\infty$型，需变形处理。
- 对数恒等变形：将原式转化为指数函数形式，简化计算。
- 等价无穷小替换：利用$a^x \approx 1 + x \ln a$（当$x \to 0$时），将分子展开并化简。
步骤1：取自然对数
设原式为$L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)$
步骤2：泰勒展开分子
当$x \to 0$时，$a^x \approx 1 + x \ln a$，同理$b^x \approx 1 + x \ln b$，$c^x \approx 1 + x \ln c$。因此：
$\frac{a^x + b^x + c^x}{3} \approx \frac{3 + x(\ln a + \ln b + \ln c)}{3} = 1 + \frac{x}{3}(\ln a + \ln b + \ln c)$
步骤3：展开对数函数
利用$\ln(1 + kx) \approx kx$（当$x \to 0$时），得：
$\ln \left( 1 + \frac{x}{3}(\ln a + \ln b + \ln c) \right) \approx \frac{x}{3}(\ln a + \ln b + \ln c)$
步骤4：计算极限
代入$\ln L$的表达式：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{3}(\ln a + \ln b + \ln c) = \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}$
步骤5：还原指数形式
最终结果为：
$L = e^{\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = \sqrt[3]{abc}$