例3.12 设向量组a1,α2,α3线性相关,a2,α3,a4线性无关,-|||-证明(1)α1能由α2,α3线性表示;(2)α 4不能由α1,α2,α 3线性表-|||-示.

步骤 1：证明α1能由α2,α3线性表示
由于α2,α3,α4线性无关，所以α2,α3线性无关。又因为α1,α2,α3线性相关，根据线性代数中的定理，如果一个向量组中的部分向量线性无关，而整个向量组线性相关，那么线性相关的向量可以由线性无关的向量线性表示。因此，α1能由α2,α3线性表示。

步骤 2：证明α4不能由α1,α2,α3线性表示
假设α4能由α1,α2,α3线性表示，即存在常数k1,k2,k3使得α4=k1α1+k2α2+k3α3。由步骤1知，α1能由α2,α3线性表示，即存在常数c1,c2使得α1=c1α2+c2α3。将α1的表达式代入α4的表达式中，得到α4=k1(c1α2+c2α3)+k2α2+k3α3=(k1c1+k2)α2+(k1c2+k3)α3。这表明α4能由α2,α3线性表示，与α2,α3,α4线性无关矛盾。因此，α4不能由α1,α2,α3线性表示。