今有甲、乙两个同学在篮球场上比赛三分投篮，甲每次投中的概率均为0.3，乙每次投中的概率均为0.2，且两人每次投篮结果都相互独立．现在约定：甲先投，谁先投中谁得胜，求甲、乙得胜的概率各是多少？并讨论：若改为乙先投，其他方面不变，甲、乙得胜的概率会变吗？

步骤 1：计算甲先投时甲得胜的概率
甲得胜的情况包括甲第一次投中，或者甲第一次未中但乙也未中，甲第二次投中，以此类推。因此，甲得胜的概率为：
\[ P(甲胜) = 0.3 + 0.7 \times 0.8 \times 0.3 + 0.7^2 \times 0.8^2 \times 0.3 + \cdots \]
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为0.3，公比为0.7×0.8=0.56，因此甲得胜的概率为：
\[ P(甲胜) = \frac{0.3}{1-0.56} = \frac{0.3}{0.44} = \frac{30}{44} = \frac{15}{22} \]

步骤 2：计算甲先投时乙得胜的概率
乙得胜的情况包括甲第一次未中但乙第一次投中，或者甲第一次未中乙也未中，甲第二次未中但乙第二次投中，以此类推。因此，乙得胜的概率为：
\[ P(乙胜) = 0.7 \times 0.2 + 0.7^2 \times 0.8 \times 0.2 + 0.7^3 \times 0.8^2 \times 0.2 + \cdots \]
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为0.7×0.2=0.14，公比为0.7×0.8=0.56，因此乙得胜的概率为：
\[ P(乙胜) = \frac{0.14}{1-0.56} = \frac{0.14}{0.44} = \frac{14}{44} = \frac{7}{22} \]

步骤 3：计算乙先投时甲得胜的概率
乙先投时，甲得胜的情况包括乙第一次未中但甲第一次投中，或者乙第一次未中甲也未中，乙第二次未中但甲第二次投中，以此类推。因此，甲得胜的概率为：
\[ P(甲胜) = 0.8 \times 0.3 + 0.8^2 \times 0.7 \times 0.3 + 0.8^3 \times 0.7^2 \times 0.3 + \cdots \]
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为0.8×0.3=0.24，公比为0.8×0.7=0.56，因此甲得胜的概率为：
\[ P(甲胜) = \frac{0.24}{1-0.56} = \frac{0.24}{0.44} = \frac{24}{44} = \frac{6}{11} \]

步骤 4：计算乙先投时乙得胜的概率
乙得胜的情况包括乙第一次投中，或者乙第一次未中但甲也未中，乙第二次投中，以此类推。因此，乙得胜的概率为：
\[ P(乙胜) = 0.2 + 0.8 \times 0.7 \times 0.2 + 0.8^2 \times 0.7^2 \times 0.2 + \cdots \]
这是一个无穷等比数列求和问题，其中首项为0.2，公比为0.8×0.7=0.56，因此乙得胜的概率为：
\[ P(乙胜) = \frac{0.2}{1-0.56} = \frac{0.2}{0.44} = \frac{20}{44} = \frac{5}{11} \]

步骤 5：讨论甲、乙得胜的概率是否会变
从上面的计算可以看出，当甲先投时，甲得胜的概率为$\frac{15}{22}$，乙得胜的概率为$\frac{7}{22}$；当乙先投时，甲得胜的概率为$\frac{6}{11}$，乙得胜的概率为$\frac{5}{11}$。因此，甲、乙得胜的概率会变。