题目
[题目] lim _(xarrow 0)dfrac (sin x-tan x)((sqrt [3]{1+{x)^2}-1)(sqrt (1+sin x)-1)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简分子
分子 $\sin x - \tan x$ 可以化简为 $\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x (1 - \frac{1}{\cos x}) = \sin x (\frac{\cos x - 1}{\cos x})$。利用 $\cos x - 1 = -2\sin^2(\frac{x}{2})$，分子可以进一步化简为 $\sin x (-2\sin^2(\frac{x}{2})/\cos x)$。
步骤 2：化简分母
分母 $(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)$ 可以分别利用二项式展开和泰勒展开来化简。$\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 可以近似为 $\frac{1}{3}x^2$，$\sqrt{1+\sin x}-1$ 可以近似为 $\frac{1}{2}\sin x$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母的近似值代入原式，得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x (-2\sin^2(\frac{x}{2})/\cos x)}{(\frac{1}{3}x^2)(\frac{1}{2}\sin x)}$。化简后得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{\frac{1}{3}x^2\cos x}$。利用 $\sin x \approx x$ 和 $\cos x \approx 1$，可以进一步化简为 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2(\frac{x}{2})^2}{\frac{1}{3}x^2}$，即 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2(\frac{x^2}{4})}{\frac{1}{3}x^2} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2}$。
分子 $\sin x - \tan x$ 可以化简为 $\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x (1 - \frac{1}{\cos x}) = \sin x (\frac{\cos x - 1}{\cos x})$。利用 $\cos x - 1 = -2\sin^2(\frac{x}{2})$，分子可以进一步化简为 $\sin x (-2\sin^2(\frac{x}{2})/\cos x)$。
步骤 2：化简分母
分母 $(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)$ 可以分别利用二项式展开和泰勒展开来化简。$\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 可以近似为 $\frac{1}{3}x^2$，$\sqrt{1+\sin x}-1$ 可以近似为 $\frac{1}{2}\sin x$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母的近似值代入原式，得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x (-2\sin^2(\frac{x}{2})/\cos x)}{(\frac{1}{3}x^2)(\frac{1}{2}\sin x)}$。化简后得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{\frac{1}{3}x^2\cos x}$。利用 $\sin x \approx x$ 和 $\cos x \approx 1$，可以进一步化简为 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2(\frac{x}{2})^2}{\frac{1}{3}x^2}$，即 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2(\frac{x^2}{4})}{\frac{1}{3}x^2} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2}$。