题目
10.抛物线 ^2=2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积是 ()-|||-A.16 B.18 C.20 D.22
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到抛物线 ${y}^{2}=2x$ 与直线 $y=x-4$ 的交点。将直线方程代入抛物线方程中，得到：
$$(x-4)^2 = 2x$$
展开并整理方程：
$$x^2 - 8x + 16 = 2x$$
$$x^2 - 10x + 16 = 0$$
解这个二次方程，得到：
$$x = 2, 8$$
对应的 $y$ 值分别为 $-2$ 和 $4$。因此，交点为 $(2, -2)$ 和 $(8, 4)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们计算由抛物线和直线所围成的图形的面积。由于抛物线和直线在 $x$ 轴上分别有两个交点，我们可以将面积分为两部分来计算。第一部分是 $x$ 从 $0$ 到 $2$ 的积分，第二部分是 $x$ 从 $2$ 到 $8$ 的积分。
对于第一部分，我们计算抛物线在 $x$ 轴上方和下方的面积之和：
$$S_1 = \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - (-\sqrt{2x})) dx = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} \sqrt{x} dx$$
$$= 2\sqrt{2} \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{0}^{2} = \frac{16}{3}$$
对于第二部分，我们计算抛物线和直线之间的面积：
$$S_2 = \int_{2}^{8} (\sqrt{2x} - (x-4)) dx$$
$$= \int_{2}^{8} (\sqrt{2x} - x + 4) dx$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 + 4x \right) \Big|_{2}^{8}$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 8^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \times 8^2 + 4 \times 8 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 2^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \times 2^2 + 4 \times 2 \right)$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 16\sqrt{2} - 32 + 32 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} - 2 + 8 \right)$$
$$= \left( \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( \frac{8}{3} + 6 \right)$$
$$= \frac{64}{3} - \frac{8}{3} - 6$$
$$= \frac{56}{3} - 6$$
$$= \frac{56}{3} - \frac{18}{3}$$
$$= \frac{38}{3}$$
步骤 3：求总面积
最后，我们将两部分的面积相加，得到总面积：
$$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{38}{3} = \frac{54}{3} = 18$$
首先，我们需要找到抛物线 ${y}^{2}=2x$ 与直线 $y=x-4$ 的交点。将直线方程代入抛物线方程中，得到：
$$(x-4)^2 = 2x$$
展开并整理方程：
$$x^2 - 8x + 16 = 2x$$
$$x^2 - 10x + 16 = 0$$
解这个二次方程，得到：
$$x = 2, 8$$
对应的 $y$ 值分别为 $-2$ 和 $4$。因此，交点为 $(2, -2)$ 和 $(8, 4)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们计算由抛物线和直线所围成的图形的面积。由于抛物线和直线在 $x$ 轴上分别有两个交点，我们可以将面积分为两部分来计算。第一部分是 $x$ 从 $0$ 到 $2$ 的积分，第二部分是 $x$ 从 $2$ 到 $8$ 的积分。
对于第一部分，我们计算抛物线在 $x$ 轴上方和下方的面积之和：
$$S_1 = \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - (-\sqrt{2x})) dx = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} \sqrt{x} dx$$
$$= 2\sqrt{2} \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_{0}^{2} = \frac{16}{3}$$
对于第二部分，我们计算抛物线和直线之间的面积：
$$S_2 = \int_{2}^{8} (\sqrt{2x} - (x-4)) dx$$
$$= \int_{2}^{8} (\sqrt{2x} - x + 4) dx$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 + 4x \right) \Big|_{2}^{8}$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 8^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \times 8^2 + 4 \times 8 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 2^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} \times 2^2 + 4 \times 2 \right)$$
$$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 16\sqrt{2} - 32 + 32 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} - 2 + 8 \right)$$
$$= \left( \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( \frac{8}{3} + 6 \right)$$
$$= \frac{64}{3} - \frac{8}{3} - 6$$
$$= \frac{56}{3} - 6$$
$$= \frac{56}{3} - \frac{18}{3}$$
$$= \frac{38}{3}$$
步骤 3：求总面积
最后，我们将两部分的面积相加，得到总面积：
$$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{38}{3} = \frac{54}{3} = 18$$