题目
设A,B均为3阶矩阵，且A,B，则行列式A,B.
设
均为3阶矩阵，且
，则行列式
.
题目解答
答案
解：依题意可得：因为均为3阶矩阵，且，对其进行变换，可得：
,所以，矩阵
和矩阵
互为逆矩阵，再两边左乘
得：
,可得：
,所以，
,故，
,故，答案为8.
解析
步骤 1：矩阵方程的变形
由已知条件${A}^{2}=2AB+E$，可以变形为$A(A-2B)=E$，这表明矩阵$A$和矩阵$A-2B$互为逆矩阵。
步骤 2：求解矩阵$B$
由$A(A-2B)=E$，两边左乘${A}^{-1}$，得到$A-2B={A}^{-1}$，从而可以解出$B=\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}$。
步骤 3：计算行列式$|AB-BA+2A|$
将$B=\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}$代入$AB-BA+2A$中，得到$AB-BA+2A=A\left(\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}\right)-\left(\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}\right)A+2A$。化简后得到$AB-BA+2A=2A$。因此，$|AB-BA+2A|=|2A|$。
步骤 4：计算行列式$|2A|$
由于$|A|=1$，则$|2A|={2}^{3}|A|=8$。
由已知条件${A}^{2}=2AB+E$，可以变形为$A(A-2B)=E$，这表明矩阵$A$和矩阵$A-2B$互为逆矩阵。
步骤 2：求解矩阵$B$
由$A(A-2B)=E$，两边左乘${A}^{-1}$，得到$A-2B={A}^{-1}$，从而可以解出$B=\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}$。
步骤 3：计算行列式$|AB-BA+2A|$
将$B=\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}$代入$AB-BA+2A$中，得到$AB-BA+2A=A\left(\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}\right)-\left(\dfrac {A-{A}^{-1}}{2}\right)A+2A$。化简后得到$AB-BA+2A=2A$。因此，$|AB-BA+2A|=|2A|$。
步骤 4：计算行列式$|2A|$
由于$|A|=1$，则$|2A|={2}^{3}|A|=8$。