20.设a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx(n=0,1,2,...),则lim_(ntoinfty)((a_(n))/(a_(n-2)))^n=_.

为了求解 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}$，我们首先需要找到 $a_n$ 的表达式。给定 $a_n = \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1-x^2} \, dx$，我们可以使用分部积分法来简化这个积分。 设 $u = x^{n-1}$ 和 $dv = x \sqrt{1-x^2} \, dx$。则 $du = (n-1)x^{n-2} \, dx$ 和 $v = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2}$。使用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ a_n = \left[ -\frac{1}{3} x^{n-1} (1-x^2)^{3/2} \right]_0^1 + \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2)^{3/2} \, dx. \] 由于第一项在 $x=1$ 和 $x=0$ 时都为零，我们有： \[ a_n = \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2)^{3/2} \, dx. \] 我们可以将 $(1-x^2)^{3/2}$ 写为 $(1-x^2) \sqrt{1-x^2}$，因此： \[ a_n = \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2) \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{n-1}{3} \left( \int_0^1 x^{n-2} \sqrt{1-x^2} \, dx - \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx \right). \] 这可以写为： \[ a_n = \frac{n-1}{3} (a_{n-2} - a_n). \] 重新排列项，我们得到： \[ a_n + \frac{n-1}{3} a_n = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n \left(1 + \frac{n-1}{3}\right) = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n \left(\frac{n+2}{3}\right) = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}. \] 现在，我们需要找到 $\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_n}{a_{n-2}} \right)^n$。从递推关系中，我们有： \[ \frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n-1}{n+2}. \] 因此，我们需要求： \[ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-1}{n+2} \right)^n. \] 我们可以将 $\frac{n-1}{n+2}$ 写为： \[ \frac{n-1}{n+2} = \frac{n+2-3}{n+2} = 1 - \frac{3}{n+2}. \] 所以，我们有： \[ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-1}{n+2} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n. \] 我们可以使用极限 $\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$。将我们的表达式重写为这种形式，我们得到： \[ \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n = \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{n+2} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{-2}. \] 当 $n \to \infty$ 时，$\left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{n+2} \to e^{-3}$ 和 $\left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{-2} \to 1$。因此： \[ \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n = e^{-3}. \] Thus, the answer is: \[ \boxed{e^{-3}}. \]