题目

20.设a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx(n=0,1,2,...),则lim_(ntoinfty)((a_(n))/(a_(n-2)))^n=_.

20.设$a_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{1-x^{2}}dx(n=0,1,2,\cdots)$,则$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}=\_.$

题目解答

答案

为了求解 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}$，我们首先需要找到 $a_n$ 的表达式。给定 $a_n = \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1-x^2} \, dx$，我们可以使用分部积分法来简化这个积分。 设 $u = x^{n-1}$ 和 $dv = x \sqrt{1-x^2} \, dx$。则 $du = (n-1)x^{n-2} \, dx$ 和 $v = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2}$。使用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ a_n = \left[ -\frac{1}{3} x^{n-1} (1-x^2)^{3/2} \right]_0^1 + \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2)^{3/2} \, dx. \] 由于第一项在 $x=1$ 和 $x=0$ 时都为零，我们有： \[ a_n = \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2)^{3/2} \, dx. \] 我们可以将 $(1-x^2)^{3/2}$ 写为 $(1-x^2) \sqrt{1-x^2}$，因此： \[ a_n = \frac{n-1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1-x^2) \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{n-1}{3} \left( \int_0^1 x^{n-2} \sqrt{1-x^2} \, dx - \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx \right). \] 这可以写为： \[ a_n = \frac{n-1}{3} (a_{n-2} - a_n). \] 重新排列项，我们得到： \[ a_n + \frac{n-1}{3} a_n = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n \left(1 + \frac{n-1}{3}\right) = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n \left(\frac{n+2}{3}\right) = \frac{n-1}{3} a_{n-2} \implies a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}. \] 现在，我们需要找到 $\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_n}{a_{n-2}} \right)^n$。从递推关系中，我们有： \[ \frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n-1}{n+2}. \] 因此，我们需要求： \[ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-1}{n+2} \right)^n. \] 我们可以将 $\frac{n-1}{n+2}$ 写为： \[ \frac{n-1}{n+2} = \frac{n+2-3}{n+2} = 1 - \frac{3}{n+2}. \] 所以，我们有： \[ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-1}{n+2} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n. \] 我们可以使用极限 $\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$。将我们的表达式重写为这种形式，我们得到： \[ \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n = \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{n+2} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{-2}. \] 当 $n \to \infty$ 时，$\left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{n+2} \to e^{-3}$ 和 $\left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^{-2} \to 1$。因此： \[ \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{3}{n+2} \right)^n = e^{-3}. \] Thus, the answer is: \[ \boxed{e^{-3}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查积分递推关系的建立及极限的计算，涉及分部积分法和重要极限公式的应用。

解题核心思路：

  1. 分部积分法：通过分部积分将$a_n$与$a_{n-2}$联系起来，建立递推关系。
  2. 递推关系化简：将积分表达式转化为$a_n$与$a_{n-2}$的比例关系。
  3. 极限计算：利用重要极限$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = e^k$，将比值的极限转化为指数形式。

破题关键点：

  • 分部积分的选择：合理选择$u$和$dv$，简化积分表达式。
  • 递推关系的推导：通过拆分积分项，建立$a_n$与$a_{n-2}$的线性关系。
  • 极限变形技巧：将比值$\frac{n-1}{n+2}$转化为$1-\frac{3}{n+2}$，并利用指数函数的极限形式。

步骤1：分部积分求递推关系
设$u = x^{n-1}$，$dv = x\sqrt{1-x^2}dx$，则$du = (n-1)x^{n-2}dx$，$v = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2}$。
分部积分公式得：
$a_n = \left[ -\frac{1}{3}x^{n-1}(1-x^2)^{3/2} \right]_0^1 + \frac{n-1}{3}\int_0^1 x^{n-2}(1-x^2)^{3/2}dx.$
边界项为0，故：
$a_n = \frac{n-1}{3}\int_0^1 x^{n-2}(1-x^2)^{3/2}dx.$

步骤2：拆分积分项
将$(1-x^2)^{3/2}$拆分为$(1-x^2)\sqrt{1-x^2}$，得：
$a_n = \frac{n-1}{3}\left( \int_0^1 x^{n-2}\sqrt{1-x^2}dx - \int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2}dx \right).$
即：
$a_n = \frac{n-1}{3}(a_{n-2} - a_n).$

步骤3：化简递推关系
整理得：
$a_n\left(1 + \frac{n-1}{3}\right) = \frac{n-1}{3}a_{n-2} \implies a_n = \frac{n-1}{n+2}a_{n-2}.$

步骤4：计算极限
由递推关系得$\frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n-1}{n+2}$，故：
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n+2}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{3}{n+2}\right)^n.$
令$m = n+2$，则当$n\to\infty$时，$m\to\infty$，且：
$\left(1 - \frac{3}{m}\right)^{m-2} \approx \left(1 - \frac{3}{m}\right)^m \to e^{-3}.$
因此，原极限为$e^{-3}$。