题目
讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限:-|||-(x,y)=ysin dfrac (1)(x);
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算重极限
重极限是指当点$(x,y)$趋向于$(0,0)$时，函数$f(x,y)$的极限。对于函数$f(x,y)=y\sin \dfrac {1}{x}$，我们首先考虑其绝对值$|y\sin \dfrac {1}{x}|$。由于$|\sin \dfrac {1}{x}| \leq 1$，因此$|y\sin \dfrac {1}{x}| \leq |y|$。当$(x,y)$趋向于$(0,0)$时，$|y|$趋向于$0$，因此$|y\sin \dfrac {1}{x}|$也趋向于$0$。这意味着$f(x,y)$在点$(0,0)$的重极限存在且为$0$。
步骤 2：计算累次极限
累次极限是指先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限。对于函数$f(x,y)=y\sin \dfrac {1}{x}$，我们首先考虑对$x$求极限，即$\lim _{x\rightarrow 0}y\sin \dfrac {1}{x}$。由于$\sin \dfrac {1}{x}$在$x$趋向于$0$时振荡，没有确定的极限，因此$\lim _{x\rightarrow 0}y\sin \dfrac {1}{x}$不存在。因此，函数$f(x,y)$在点$(0,0)$的累次极限不存在。
重极限是指当点$(x,y)$趋向于$(0,0)$时，函数$f(x,y)$的极限。对于函数$f(x,y)=y\sin \dfrac {1}{x}$，我们首先考虑其绝对值$|y\sin \dfrac {1}{x}|$。由于$|\sin \dfrac {1}{x}| \leq 1$，因此$|y\sin \dfrac {1}{x}| \leq |y|$。当$(x,y)$趋向于$(0,0)$时，$|y|$趋向于$0$，因此$|y\sin \dfrac {1}{x}|$也趋向于$0$。这意味着$f(x,y)$在点$(0,0)$的重极限存在且为$0$。
步骤 2：计算累次极限
累次极限是指先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限。对于函数$f(x,y)=y\sin \dfrac {1}{x}$，我们首先考虑对$x$求极限，即$\lim _{x\rightarrow 0}y\sin \dfrac {1}{x}$。由于$\sin \dfrac {1}{x}$在$x$趋向于$0$时振荡，没有确定的极限，因此$\lim _{x\rightarrow 0}y\sin \dfrac {1}{x}$不存在。因此，函数$f(x,y)$在点$(0,0)$的累次极限不存在。