题目
叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义局部保号性
局部保号性是指如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，并且 $f(x_0,y_0) \neq 0$，则存在一个以 $(x_0,y_0)$ 为中心的邻域 $U(P_0,\delta)$，使得在该邻域内的所有点 $(x,y)$ 处，函数 $f(x,y)$ 的值与 $f(x_0,y_0)$ 的符号相同。此外，还存在一个正数 $r$，使得 $|f(x_0,y_0)| > r$，并且对于任意 $(x,y) \in U(P_0,\delta)$，有 $|f(x,y)| \geqslant r > 0$。
步骤 2：证明局部保号性
设 $f(x_0,y_0) > 0$，则存在 $r$，使得 $f(x_0,y_0) > r > 0$。取 $\epsilon = f(x_0,y_0) - r$，因为 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，所以存在 $\delta > 0$，使得当 $(x,y) \in U_0(P_0,\delta)$ 时，有 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \epsilon = f(x_0,y_0) - r$。从而当 $(x,y) \in U_0(P_0,\delta)$ 时，$f(x,y) \geqslant f(x_0,y_0) - \epsilon = r > 0$。
步骤 3：处理 $f(x_0,y_0) < 0$ 的情况
当 $f(x_0,y_0) < 0$ 时，$-f(x_0,y_0) > 0$。任取 $0 < r < -f(x_0,y_0)$，由上知存在 $U(P_0,\delta)$ 使得在其上 $-f(x_0,y_0) \geqslant x > 0$，即 $f(x,y) \leqslant -r < 0$。可见 $f$ 在 $U(P_0,\delta)$ 上与 $f(x_0,y_0)$ 同号且 $|f(x,y)| \geqslant r > 0$。
局部保号性是指如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，并且 $f(x_0,y_0) \neq 0$，则存在一个以 $(x_0,y_0)$ 为中心的邻域 $U(P_0,\delta)$，使得在该邻域内的所有点 $(x,y)$ 处，函数 $f(x,y)$ 的值与 $f(x_0,y_0)$ 的符号相同。此外，还存在一个正数 $r$，使得 $|f(x_0,y_0)| > r$，并且对于任意 $(x,y) \in U(P_0,\delta)$，有 $|f(x,y)| \geqslant r > 0$。
步骤 2：证明局部保号性
设 $f(x_0,y_0) > 0$，则存在 $r$，使得 $f(x_0,y_0) > r > 0$。取 $\epsilon = f(x_0,y_0) - r$，因为 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，所以存在 $\delta > 0$，使得当 $(x,y) \in U_0(P_0,\delta)$ 时，有 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < \epsilon = f(x_0,y_0) - r$。从而当 $(x,y) \in U_0(P_0,\delta)$ 时，$f(x,y) \geqslant f(x_0,y_0) - \epsilon = r > 0$。
步骤 3：处理 $f(x_0,y_0) < 0$ 的情况
当 $f(x_0,y_0) < 0$ 时，$-f(x_0,y_0) > 0$。任取 $0 < r < -f(x_0,y_0)$，由上知存在 $U(P_0,\delta)$ 使得在其上 $-f(x_0,y_0) \geqslant x > 0$，即 $f(x,y) \leqslant -r < 0$。可见 $f$ 在 $U(P_0,\delta)$ 上与 $f(x_0,y_0)$ 同号且 $|f(x,y)| \geqslant r > 0$。